理論上の重力

測地学および地球物理学において、理論重力または標準重力とは、地球の表面上または表面付近における地球の重力を数学モデルによって近似したものである。最も一般的な理論モデルは、回転する地球の回転楕円体（すなわち、回転楕円体）である。

重力の他の表現は、小惑星などの他の天体の研究や分析に用いられる。測地学の文脈で広く用いられている重力場の表現としては、球面調和関数、マスコンモデル、多面体重力表現などがある。^{[ 1 ]}

原則

地球に適用する重力モデルの種類は、与えられた問題に求められる忠実度の程度によって決まります。航空機シミュレーションのような多くの問題では、重力を定数とみなせば十分でしょう。定数は次のように定義されます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle g=g_{45}=}$ 9.80665 m/s ² (32.1740 フィート/s ² )

1984年世界測地系（WGS-84 ）のデータに基づいており、ローカル基準フレームでは「下」を指していると理解されています。 ${\displaystyle g}$

地球上の物体の重量を緯度の関数としてモデル化することが望ましい場合は、次の式を使用することができる。^{[ 2 ]：41}

${\displaystyle g=g_{45}-{\tfrac {1}{2}}(g_{\mathrm {poles} }-g_{\mathrm {equator} })\cos \left(2\,\varphi \cdot {\frac {\pi }{180}}\right)}$

どこ

• ${\displaystyle g_{\mathrm {poles} }}$ = 9.832 m/s ² (32.26 ft/s ² )
• ${\displaystyle g_{45}}$ = 9.806 m/s ² (32.17 ft/s ² )
• ${\displaystyle g_{\mathrm {equator} }}$ = 9.780 m/s ² (32.09 ft/s ² )
• ${\displaystyle \varphi }$ = 緯度、-90°から+90°の間

どちらも高度の変化に伴う重力の変化を考慮していないが、余弦関数を用いたモデルは地球の自転によって生じる遠心力の起伏を考慮している。回転する球面上では、重力場の力と遠心力の和は、およそ

${\displaystyle {\frac {\sin(2\varphi )}{2g}}{R\Omega ^{2}}}$

（ラジアン）重力場の方向と鉛直線で測った方向との間の角度。鉛直線は北半球では南向き、南半球では北向きに見える。rad /sは地球の軸の日周角速度、kmは基準球の半径、そして地殻上の点から地球の軸までの距離である。^{[ 3 ]}${\displaystyle \Omega \approx 7.29\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle R\approx 6370}$ ${\displaystyle R\sin \varphi }$

質量引力効果のみの場合、赤道の重力加速度は、質量中心から遠いため、極の重力加速度よりも約0.18%小さくなります。回転成分を考慮すると（上記のように）、赤道の重力は極の重力よりも約0.53%小さくなりますが、極の重力は回転の影響を受けません。したがって、緯度による回転成分の変化（0.35%）は、緯度による質量引力の変化（0.18%）の約2倍の大きさですが、どちらも極の重力と比較して赤道の重力の強さを低下させます。

衛星の場合、軌道は地球の自転とは切り離されているため、軌道周期は必ずしも1日ではありませんが、複数の軌道を周回するごとに誤差が蓄積される可能性があるため、精度が重要になります。このような問題では、経度による変化をモデル化しない限り、地球の自転は重要ではありません。また、高度による重力の変化も重要になり、特に楕円軌道の場合は顕著になります。

1996 年地球重力モデル( EGM96 ) には、地球の重力場のモデルを改良する 130,676 個の係数が含まれています。^{[ 2 ] :40} 最も重要な補正項は、次に大きい項よりも約 2 桁大きくなります。^{[ 2 ] :40} その係数は項と呼ばれ、地球の極の平坦化、つまり扁平化を表します(アメリカン フットボールのように対称軸を中心に引き伸ばされた形状は、長楕円と呼ばれます)。重力ポテンシャル関数は、単位質量を無限大から地球の近くに移動させたときのポテンシャル エネルギーの変化について記述できます。その関数を座標系に関して偏微分すると、重力加速度ベクトルの方向成分が場所の関数として解析されます。地球の自転による成分は、必要に応じて、太陽日（≈365.24日/年）ではなく、恒星に対する恒星日（≈366.24日/年）に基づいて計算に含めることができます。この成分は、地球の表面ではなく、自転軸に垂直です。 ${\displaystyle J_{2}}$

火星の形状と重力場に合わせて調整された同様のモデルは、NASA SP-8010に掲載されています。^{[ 4 ]}

空間内の一点における重心重力加速度は次のように表され ます。

${\displaystyle \mathbf {g} =-{GM \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} }$

どこ：

Mは吸引する物体の質量、は吸引する物体の質量中心から加速される物体の質量中心までの単位ベクトル、 rは 2 つの物体間の距離、Gは重力定数です。 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {r}} }$

この計算を地球表面上の物体、または地球と共に回転する航空機に対して行う場合、地球が自転していることを考慮し、遠心加速度を差し引く必要があります。例えば、GM = 3.986 × 10 ¹⁴ m ³ /s ²、R = 6.371 × 10 ⁶ mのとき、上記の式は加速度9.820 m/s ²となります。 求心半径はr = R cos( φ )、求心時間単位はおよそ(日/ 2 π )であるため、r = 5 × 10 ⁶メートルの場合、この値は9.79379 m/s ²となり、観測値に近くなります。

基本的な公式

理論的な重力を計算するための様々な公式は、次第に洗練されていき、国際重力公式と呼ばれています。最初の公式は1930年に国際測地学協会によって提案されました。この公式の概略は以下のとおりです。

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),}$

ここで、g ( φ ) は重力を決定しようとする位置の地理的緯度φの関数としての重力であり、赤道での重力（測定によって決定）を表し、係数AとBは真の重力に全体的に適合するように選択する必要があるパラメータである。^{[ 5 ]}${\displaystyle g_{e}}$

GRS80参照システムの値を使用すると、上記の式の一般的な具体的なインスタンス化は次のようになります。

${\displaystyle g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$ ^{[ 5 ]}

適切な二倍角の公式とピタゴラスの定理を組み合わせると、これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi )&=9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi )+0.0000232\sin ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi )+.0000232\cos ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi )+.0000058\cos ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!}$

1960年代までは、ヘイフォード楕円体（1924年）とドイツの有名な測地学者ヘルメルト（1906年）に基づく公式がしばしば用いられていました。ヘイフォード楕円体の長半径（赤道半径）と現代のWGS84楕円体の長半径（赤道半径）の差は、251 m ; ヘルメルトの楕円体では63メートル。

ソミリアーナ方程式

緯度の関数としての重力のより最近の理論式は、1980年の国際重力式（IGF80）であり、これもGRS80楕円体に基づいていますが、現在はソミリアーナの式（カルロ・ソミリアーナ（1860-1955）^{[ 6 ]}にちなんで）を使用しています。

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!}$

ここで、^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}}$ （数式定数）
• ${\displaystyle g_{e},g_{p}}$ それぞれ赤道と極で定義された重力です。
• ${\displaystyle a,b}$ それぞれ赤道半軸と極半軸です。
• ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$ は回転楕円体の離心率の二乗です。

提供、

${\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$ ^{[ 5 ]}

その後、WGS84楕円体に基づいて改良されたのが、WGS（世界測地系）1984楕円体重力公式である。^{[ 7 ]}

${\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$

（ここで= 9.8321849378 ms ⁻²） ${\displaystyle g_{p}}$

IGF80との差は地球物理学的目的で使用する場合には重要ではないが^{[ 5 ]}、他の用途では重要となる可能性がある。

詳細情報

海面楕円体の通常の重力、すなわち標高h = 0の場合、Somigliana（1929）による次の式が適用されます。 ${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

と

• ${\displaystyle \gamma _{a}}$ = 赤道上の通常の重力
• ${\displaystyle \gamma _{b}}$ = 極における通常の重力
• a =長半径（赤道半径）
• b =半短軸（極半径）
• ${\displaystyle \varphi }$ =緯度

数値の問題により、式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

と

• ${\displaystyle p={\frac {b\cdot \gamma _{b}}{a\cdot \gamma _{a}}}-1}$
• ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};\quad }$ （eは離心率）

測地参照システム 1980 (GRS 80) の場合、パラメータは次の値に設定されます。

${\displaystyle a=6\,378\,137\,\mathrm {m} \quad \quad \quad \quad b=6\,356\,752{.}314\,1\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \quad \gamma _{b}=9{.}832\,186\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$

${\displaystyle \Rightarrow p=1{.}931\,851\,353\cdot 10^{-3}\quad e^{2}=6{.}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}}$

級数展開からの近似式

ソミリアーナの式は、次の図式に従って、さまざまな級数展開によって近似されました。

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )}$

1930年の国際重力式

ジーノ・カシニスによる標準重力式は、1930年に国際測地学・地球物理学連合によってヘイフォード楕円体とともに国際重力式として決定されました。パラメータは以下のとおりです。

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}78049{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2884\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

時が経つにつれ、新たな知識とより正確な測定方法によって、値は再び改善されました。

ハロルド・ジェフリーズは1948 年に次の値を改善しました。

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780373{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2891\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

1967年の国際重力式

1967 年の測地基準系の標準重力式は次の値で定義されます。

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

1980年の国際重力式

GRS 80 のパラメータから、クラシック シリーズ拡張が生まれます。

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780327{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}8\cdot 10^{-6}}$

精度は約±10 ⁻⁶ m/s ²です。

GRS 80 では、次のシリーズ拡張も導入されています。

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\dots )}$

パラメータは次のようになります。

• c ₁  = 5.279 0414·10 ⁻³
• c ₂  = 2.327 18·10 ⁻⁵
• c ₃  = 1.262·10 ⁻⁷
• c ₄  = 7·10 ⁻¹⁰

精度は±10 ⁻⁹ m/s ²程度です。精度がそれほど必要ない場合は、それより後ろの項を省略できますが、この最終的な式を使用することをお勧めします。

身長依存性

カシニスは高度依存性を次のように決定しました。

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h}$

平均岩石密度 ρ は考慮されなくなりました。

GRS 1967 以降、楕円体高度 hへの依存性は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}}$

別の表現は次のとおりです。

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})}$

GRS80から導出されたパラメータ:

• ${\displaystyle k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}} }$

ここで：^{[ 8 ]}${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \omega =7.2921150\cdot 10^{-5}\ rad\cdot s^{-1}}$

${\displaystyle m={\frac {\omega ^{2}\cdot a^{2}\cdot b}{GM}}}$

この調整は、航空における一般的な高度ではほぼ適切ですが、宇宙空間（約 100 キロメートル以上）までの高度では範囲外になります。

WELMEC式

すべてのドイツの規格事務所では、自由落下加速度 gは平均緯度φと平均海抜高度 hに対してWELMEC - Formelで計算されます。

${\displaystyle g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}$

この式は 1967 年の国際重力式に基づいています。

特定の場所における自由落下加速度の尺度は、複数の機械的強度を正確に測定することによって決定する必要がある。重量計は、その質量によって測定を行うため、自由落下加速度に依存する。したがって、使用時には、使用場所に応じて異なる定数を用いて準備する必要がある。通常の重力を用いて区分される、いわゆる重力ゾーンの概念を通じて、製造業者は使用前に重量計を校正することができる。^{[ 9 ]}

例

シュヴァインフルトの自由落下加速:

データ：

• 緯度: 50° 3′ 24″ = 50.0567°
• 海抜：229.7メートル
• 岩石プレートの密度：約2.6 g/cm ³
• 測定された自由落下加速度: g = 9.8100 ± 0.0001 m/s ²

通常の重力の公式で計算された自由落下加速度：

• カシニス: g  = 9.81038 m/s ²
• ジェフリーズ: g  = 9.81027 m/s ²
• ウェルメック: g  = 9.81004 m/s ²

参照

• 重力異常
• 参照楕円体
• EGM96（地球重力モデル1996）
• 標準重力 ：9.806 65 m/s ²

参考文献

1. Izzo, Dario; Gómez, Pablo (2022-12-28). 「神経密度場を用いた不規則小天体の測地測量」 . Communications Engineering . 1 (1): 48. arXiv : 2105.13031 . Bibcode : 2022CmEng...1...48I . doi : 10.1038/s44172-022-00050-3 . ISSN  2731-3395 . PMC  10956048 .
2. Brian L. Stevens; Frank L. Lewis (2003). Aircraft Control And Simulation, 2nd Ed . Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-37145-8。
3. de Icaza-Herrera, M.; Castano, VM (2011). 「散逸力を伴うパラメトリックフーコー振り子の一般化ラグランジアン」. Acta Mech . 218 ( 1–2 ): 45–64 . doi : 10.1007/s00707-010-0392-8 .
4. Richard B. Noll、Michael B. McElroy (1974)、「火星の大気モデル [1974]」、Space Vehicle Design Criteria (Environment)、メリーランド州グリーンベルト：NASAゴダード宇宙飛行センター、Bibcode：1974svdc.rept......、SP-8010。
5. William J. Hinze、Ralph RB von Frese、Afif H. Saad (2013). 『重力と磁気探査：原理、実践、そして応用』 Cambridge University Press . p. 130. ISBN 978-1-107-32819-8。
6. Biografie Somiglianas Archived 2010-12-07 at the Wayback Machine (ital.)
7. 国防総省世界測地系1984年版 - その定義および地方測地系との関係、NIMA TR8350.2、第3版、表3.4、式4-1
8. Xiong Li; Hans-Jürgen Götzez. 「チュートリアル：楕円体、ジオイド、重力、測地学、地球物理学」（PDF） . 2024年3月29日閲覧。988KB
9. ローマン・シュワルツ、アンドレアス・リンダウ。「Das europäische Gravitationszonekonzept nach WELMEC」(PDF) (ドイツ語) 。2011 年2 月 26 日に取得。700KB

さらに読む

• Karl Ledersteger :天文学と物理測地学。 Handbuch der Vermessungskunde Band 5、10. オーフラージュ。メッツラー、シュトゥットガルト 1969
• B.ホフマン・ヴェレンホフ、ヘルムート・モーリッツ：物理測地学、ISBN 3-211-23584-1、Springer-Verlag Wien 2006年。
• ヴォルフガング・トルゲ: Geodäsie。 2. オーフラージュ。 Walter de Gruyter、ベルリン、2003 年。ISBN 3-11-017545-2
• ヴォルフガング・トルゲ: Geodäsie。 Walter de Gruyter、ベルリン、1975 ISBN 3-11-004394-7

外部リンク

• 1980年測地基準系（GRS80）の定義（pdf、英語、70 kB）
• Gravity Information System der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt、英語。
• オンライン-Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln