投影体

凸幾何学において、n次元 ユークリッド空間における凸体の射影体 とは、任意のベクトル に対して、の方向uのサポート関数が、 uに直交する超平面へのK の射影の( n – 1) 次元体積となるような凸体のことである。 ${\displaystyle \Pi K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u\in S^{n-1}}$ ${\displaystyle \Pi K}$

ヘルマン・ミンコフスキーは、凸体の射影体が凸であることを示した。ペティ（1967）とシュナイダー（1967）は、シェパードの問題 の解法に射影体を用いた。

凸体について、その射影体の極体を と表記する。この体には、注目すべき2つのアフィン等周不等式が存在する。Petty (1971) は、すべての凸体 に対して、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi ^{\circ }K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle V_{n}(K)^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }K)\leq V_{n}(B^{n})^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }B^{n}),}$

ここで はn次元単位球、はn次元体積を表し、楕円体については正確に等式が成り立つ。Zhang (1991)は 、すべての凸体 に対して、 ${\displaystyle B^{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle V_{n}(K)^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }K)\geq V_{n}(T^{n})^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }T^{n}),}$

ここで、 は任意の - 次元単体を表し、そのような単体に対しては正確に等式が成り立ちます。 ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Kの交差体 IKも同様に定義され、任意のベクトルuに対して、原点から方向uへのIKのラジアル関数が、Kと超平面u ^⊥と の交差の( n – 1) 次元体積となるような星体として定義されます。同様に、交差体IKのラジアル関数は、 Kのラジアル関数のファンク変換です。交差体はLutwak (1988)によって導入されました 。

Koldobsky (1998a)は、中心対称の星型物体が交差体であるためには、関数1/|| x ||が正定値分布であることを示しました。ここで|| x ||は物体の境界上で1となる次数1の同次関数です。また、Koldobsky (1998b)はこれを用いて、単位球lが交差体であることを示しました。^p
_n、 l ^pノルムを持つn次元空間における2 <  p  ≤ ∞ は、 n = 4の場合には交差体であるが、 n ≥ 5の場合には交差体ではない  。

参照

• ビューゼマン・ペティ問題
• シェパードの問題

参考文献

• ブルガン、ジャン; リンデンシュトラウス、J. (1988)、「射影体」、関数解析の幾何学的側面 (1986/87)、数学講義ノート、第1317巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp.  250– 270、doi :10.1007/BFb0081746、ISBN 978-3-540-19353-1、MR  0950986
• Koldobsky, Alexander (1998a)、「交差体、正定値分布、そしてBusemann-Petty問題」、American Journal of Mathematics、120 (4): 827– 840、CiteSeerX  10.1.1.610.5349、doi :10.1353/ajm.1998.0030、ISSN  0002-9327、MR  1637955
• Koldobsky, Alexander (1998b)、「R⁴における交差体」、Advances in Mathematics、136 (1): 1– 14、doi : 10.1006/aima.1998.1718、ISSN  0001-8708、MR  1623669
• ルトワック、エルウィン（1988）「交差体と双対混合体積」、数学の進歩、71（2）：232– 261、doi：10.1016/0001-8708（88）90077-1、ISSN  0001-8708、MR  0963487
• ペティ、クリントン M. (1967)、「投影体」、凸性に関するコロキウム（コペンハーゲン、1965年）の議事録、コペンハーゲン大学理学研究所、コペンハーゲン、pp.  234– 241、MR  0216369
• ペティ, クリントン M. (1971)、「等周問題」、凸性と組合せ幾何学に関する会議議事録 (オクラホマ大学、ノーマン、オクラホマ州、1971年)。オクラホマ大学数学科、ノーマン、オクラホマ州、pp.  26– 41、MR  0362057
• ロルフ・シュナイダー（1967年）。 「Zur einem 問題 von Shephard über die Projektionen konvexer Körper」。Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)。101 : 71–82 .土井: 10.1007/BF01135693。
• 張高勇（1991）「制限弦射影とアフィン不等式」、幾何学的デディカタ、39（4）：213-222、doi：10.1007/BF00182294、MR  1119653