Analysin Infinitorum の概要
レオンハルト・オイラー著

オイラー数 eは、第7章で紹介された1に等しい網掛けの領域に対応する。

『無限解析入門』（ラテン語： [1] 無限解析入門）は、レオンハルト・オイラーによる数学解析学の基礎を築く2巻からなる著作である。ラテン語で書かれ、1748年に出版されたこの『無限解析入門』は、第1部に18章、第2部に22章から構成されている。エネストロム番号はE101とE102である。 [2] [3]これは最初の微分積分学の教科書と考えられている。

コンテンツ

第1章では変数と関数の概念について解説します。第2章と第3章では関数の変換について解説します。第4章では有理関数を通して無限級数について解説します。

ヘンク・ボス氏によれば、

『序論』は、微分積分学の研究に先立つ、解析学と解析幾何学の概念と手法の概説を目的としている。[オイラー]はこの概説を、微分や積分を用いることなく可能な限り解析学を導入するという見事な試みと位置付けた。特に、彼は積分学に頼ることなく、初等超越関数、対数、指数関数、三角関数とその逆関数を導入した。これは決して容易なことではなかった。というのも、対数は伝統的に双曲線の求積法と、三角関数は円の弧長と結び付けられていたからである。[4]

オイラーは、正の実数における任意の定数aに対するべき乗 a xを導入することで、この偉業を成し遂げました。彼は、このようにx を写像することは代数関数ではなく、超越関数であると指摘しました。a > 1 の場合、これらの関数は単調増加であり、正の実数と実数直線との単射を形成します。そして、第6章で、各底a は底aの対数と呼ばれる逆関数に対応します。第7章では、オイラーは双曲対数が1となる数として e を導入します。ここでの言及は、双曲対数の記述を通して双曲線y = 1/ xの求積法を行ったグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンです。第122節では、底 e の対数を「自然対数または双曲対数…双曲線の求積法はこれらの対数によって表すことができるため」としています。ここで彼は指数級数も示しています。

経験 ⁡ （ z ） ＝ ∑ け ＝ 0 ∞ z け け ! ＝ 1 + z + z 2 2 + z 3 6 + z 4 24 + ⋯ {\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots }

第8章では、オイラーは古典的な三角関数を「円から生じる超越量」として論じようとしています。彼は単位円を用いてオイラーの公式を提示しています。第9章では、多項式における三項式因数を考察します。第16章では、数論における分割について扱います。連分数は第18章のテーマです。

インパクト

カール・ベンジャミン・ボイヤーは1950年の国際数学者会議における講演で、オイラーの『数学入門』とユークリッドの『原論』の影響を比較し、『原論』を古代における最も重要な教科書、『数学入門』を「近代における最も重要な教科書」と呼んだ。[5]ボイヤーはまた次のようにも述べている。

オイラーの分析は、無限のプロセス、特に無限級数による関数の研究という現代の正統な学問に近いものです。
今日の大学の授業で使われているオリジナルの素材をこれほど多く含む、本質的に教訓的な作品は他にないと思われます...現代の学生が比較的容易に読むことができます...現代の教科書の原型です。

英語翻訳

英語への最初の翻訳はジョン・D・ブラントンによるもので、1988年に出版されました。[6] 2番目の翻訳はイアン・ブルースによるもので、オンラインで入手可能です。[7] 『Introductio』の版のリストはV・フレデリック・リッキーによってまとめられています。[8]



初期の言及

無限分析の紹介からのページ、1748
  • JC Scriba (2007) 1885年ドイツ語版MR  0715928の1983年再版のレビュー

ブラントン訳1988年のレビュー

参考文献

  1. ^ ラテン語では、analysis はギリシャ語からの借用語であり、 analysin という語形はギリシャ語の対格形である。Calinger , Ronald (2016). Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press. pp.  287– 288. ISBN 978-0-691-11927-4。
  2. ^ "E101 -- 無限解析の紹介、第 1 巻".オイラーアーカイブ。2020年10月15日に取得。
  3. ^ “E102 -- Introductio in analysin infinitorum, volume 2”. The Euler Archive . 2020年10月15日閲覧。
  4. ^ HJM Bos (1980)「ニュートン、ライプニッツ、そしてライプニッツの伝統」、第2章、49～93ページ、引用76ページ、アイヴァー・グラッタン＝ギネス編『微積分から集合論へ、1630～1910年：入門的歴史』 、ダックワースISBN  0-7156-1295-6
  5. ^ カール・ボイヤー（1951年4月）「現代の最も重要な教科書」アメリカ数学月刊誌58 （ 4）アメリカ数学会誌：223-226 . doi :10.2307/2306956. JSTOR  2306956.
  6. ^ レオンハルト・オイラー、JDブラントン（訳）（1988年）。無限解析入門、第1巻。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-96824-7。
  7. ^ Analysin Infinitorum の紹介。
  8. ^ V. フレデリック・リッキー『オイラー入門』
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