逆関数の積分

数学において、逆関数の積分は、連続かつ可逆な関数の逆関数の不変積分を、不変 の不変関数と不変の不変積分を用いて表す公式によって計算できる。この公式は1905年にシャルル＝アンジュ・レザン によって発表された。^[1]${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

定理の記述

とをの2つの区間とする。は連続かつ可逆な関数であると 仮定する。中間値定理から、 は厳密に単調であることがわかる。したがって、は区間を区間に写像するため、 は開写像であり、したがって同相写像となる。と逆関数は連続なので、微積分学の基本定理により、それらは原始微分を持つ。 ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I_{1}\to I_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}:I_{2}\to I_{1}}$

Laisant は、が の原始関数である場合、の原始関数は次のようになることを証明しました。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle \int f^{-1}(y)\,dy=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C,}$

ここでは任意の実数です。 が微分可能であるとは仮定されていないことに注意してください。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

定理の図解

1905 年の論文で、レイサントは 3 つの証明を示しました。

最初の証明

まず、 が微分可能であるという追加の仮定の下で、上記の式を微分することができ、これにより証明が直ちに完了します。 ${\displaystyle f^{-1}}$

第二校正

彼の2番目の証明は幾何学的なものでした。 と の場合には、定理は次のように書けます。 ${\displaystyle f(a)=c}$ ${\displaystyle f(b)=d}$

${\displaystyle \int _{c}^{d}f^{-1}(y)\,dy+\int _{a}^{b}f(x)\,dx=bd-ac.}$

右の図はこの式を言葉なしで証明したものである。Laisantはこの証明を厳密なものにするために必要な仮定については議論していないが、 が厳密に単調である（ただし必ずしも連続である必要はなく、ましてや微分可能である必要はない）と仮定すれば、これは証明できる。この場合、 と は両方ともリーマン積分可能であり、 の上下ダルブー和と の上下ダルブー和の一対一関係から恒等式が導かれる。^{[2] [3]}定理の反微分バージョンは、 も連続であると仮定した場合の微積分学の基本定理から導かれる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

第三の証明

レイサントの3番目の証明は、微分可能であるという追加の仮説を用いています。 から始めて、を掛け、両辺を積分します。右辺は部分積分を用いて となり、式は次のように表されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\textstyle xf(x)-\int f(x)\,dx}$

詳細

が微分可能であるとき、次のように考えることもできます。は任意の で連続であるため、微積分の基本定理により は微分可能です。は可逆であるため、その導関数は最大で可算な数の点で消えてしまいます。これらの点を でソートします。は各区間 上の微分可能関数の合成であるため、連鎖律を適用して が の原始微分であることが確認できます。 はのそれぞれでも微分可能であり、 がコンパクトであれば無制限にならないと主張します。このような場合、は連続かつ有界です。連続性と微積分の基本定理（ は定数）により、は の微分可能拡張です。しかし、は連続関数の合成であるため連続です。 も微分可能性により連続です。したがって、です。これで、微積分の基本定理を使用して を計算できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F:=\int _{0}^{x}f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ...<t_{-1}<t_{0}<t_{1}<...}$ ${\displaystyle g(y):=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C}$ ${\displaystyle (t_{i},t_{i+1})}$ ${\displaystyle g'(y)=f^{-1}(y)+y/f'(y)-f\circ f^{-1}(y).1/f'(y)+0=f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle \left.g\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$ ${\displaystyle \left.f\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle G(y):=C+\int _{0}^{y}f^{-1}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=g}$ ${\displaystyle \int _{I_{2}}f^{-1}}$

しかしながら、この定理はまたは が微分可能でなくても成り立つことが示せます。^{[3] [4]}例えば、前の議論でスティルチェス積分を用いれば十分です。一方、一般の単調関数はほぼどこでも微分可能ですが、が絶対連続でない限り、この一般公式の証明は成り立ちません。^[4]${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

の任意の値に対して、関数の導関数が に等しい ことも確認できます。^[要出典]言い換えると、 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle y\mapsto yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle \forall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}}=x.}$

このためには、が単調であることを考慮して、との間に平均値定理を適用すれば十分です。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+h}$ ${\displaystyle f}$

例

1. と仮定すると、となる。上記の式から、${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y)}$ $${\displaystyle \int \ln(y)\,dy=y\ln(y)-\exp(\ln(y))+C=y\ln(y)-y+C.}$$
2. 同様に、およびの場合、${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\arccos(y)}$ $${\displaystyle \int \arccos(y)\,dy=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C.}$$
3. およびと、${\displaystyle f(x)=\tan(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\arctan(y)}$ $${\displaystyle \int \arctan(y)\,dy=y\arctan(y)+\ln \left|\cos(\arctan(y))\right|+C.}$$

歴史

この積分定理は、1905年にシャルル＝アンジュ・レイザント[ ^1]によって初めて発見されたようです。彼は「この定理が新しいとは到底信じられなかった」と述べ、今後学生や教師の間で広く利用されるようになることを期待していました。この結果は、1912年にイタリアの技術者アルベルト・カプリリによって「新しい積分定理」と題された小冊子で独立して発表されました。^{[5]この定理は1955年にパーカー[6]}によって再発見され、その後多くの数学者によっても発見されました。^[7]しかし、彼らは皆、fまたはf ⁻¹が微分可能であると仮定しています。この追加の仮定のない定理の一般版は、1965 年に Michael Spivak によって微積分の練習問題として提案され、^[2]同じ流れに沿ったかなり完全な証明が Eric Key によって 1994 年に発表されました。^{[3]この証明は、}ダルブー積分 の定義そのものに依存しており、関数fの上ダルブー和がf ⁻¹の下ダルブー和と 1 対 1 対応していることを示すことにあります。 2013 年に、Michael Bensimhoun は、一般定理がまだ十分に知られていないと見積もって、さらに 2 つの証明を与えました。^[4] 2 番目の証明は、スティルチェス積分とその部分積分公式および同相変数変換公式に基づいており、より複雑な公式を確立するのに最適です。

正則関数への一般化

上記の定理は、明らかな方法で正則関数に一般化されます。と をの2つの開単連結集合とし、が の双正則写像であると仮定します。このとき、 とには原始微分があり、が の原始微分である場合、の一般的な原始微分は ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle G(z)=zf^{-1}(z)-F\circ f^{-1}(z)+C.}$

すべての正則関数は微分可能であるため、複素微分によってすぐに証明できます。

参照

• 数学ポータル

• 部品ごとの統合
• ルジャンドル変換
• ヤングの積の不等式

参考文献

1. レザント、C.-A. （1905年）。 「逆関数の統合」。Nouvelles annales de mathématiques、journal des candidats aux écoles Polytechnique et Normale。5 (4): 253–257 .
2. マイケル・スピヴァック著『微積分』（1967年）、第13章、235ページ。
3. Key, E. (1994年3月). 「逆関数の円板、殻、積分」.カレッジ数学ジャーナル. 25 (2): 136– 138. doi :10.2307/2687137. JSTOR  2687137.
4. Bensimhoun, Michael (2013). 「逆関数の反微分について」arXiv : 1312.3839 [math.HO].
5. オンラインで読む
6. Parker, FD (1955年6～7月). 「逆関数の積分」.アメリカ数学月刊誌. 62 (6): 439– 440. doi :10.2307/2307006. JSTOR  2307006.
7. 彼らのうちの一部または全員が、以前の著者を参照せずに、単にこの結果を論文で思い出しただけという可能性も同様に考えられます。

• ステイブ, JH (1966年9月). 「逆関数の積分」.数学雑誌. 39 (4): 223– 224. doi :10.2307/2688087. JSTOR  2688087.