逆平均曲率フロー

微分幾何学および幾何学解析 学の分野において、逆平均曲率フロー（IMCF）は、リーマン多様体または擬リーマン多様体の部分多様体の幾何学的フローである。これは、一般相対論において興味深いリーマン・ペンローズ不等式の特定のケースを証明するために用いられてきた。

形式的には、擬リーマン多様体( M , g )と滑らかな多様体 Sが与えられたとき、逆平均曲率流は開区間IとI × SからMへの滑らかな写像Fから成り、

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}={\frac {-\mathbf {H} }{|\mathbf {H} |^{2}}},}$

ここで、Hは浸漬の平均曲率ベクトルF ( t ,⋅)である。

gがリーマン関数で、Sがdim( M ) = dim( S ) + 1で閉じており、SのMへの滑らかな浸漬fの平均曲率がゼロにならない場合、 fを「初期データ」とする一意の逆平均曲率フローが存在する。^[1]

ゲルハルトの収束定理

逆平均曲率流の簡単な例は、ユークリッド空間における同心円状の超球面族で与えられる。このような球面の次元をn、半径をrとすると、その平均曲率は⁠n/r⁠ . したがって、このような同心球族は、逆平均曲率流を形成するには、

${\displaystyle r'(t)={\frac {r(t)}{n}}.}$

したがって、同心の円形超球面の族は、半径が指数関数的に増加すると、逆平均曲率フローを形成します。

1990年、クラウス・ゲルハルトは、この状況がユークリッド空間の平均凸星型滑らかな超曲面のより一般的な場合の特徴であることを示した。特に、そのような初期データに対しては、逆平均曲率フローが正の時刻すべてにおいて存在し、平均凸星型滑らかな超曲面のみから構成される。さらに、表面積は指数関数的に増加し、表面積を固定する再スケーリングの後、曲面は滑らかに球面に収束する。ゲルハルトの研究における幾何学的推定は最大値原理に従う。したがって、漸近的な丸さはクリロフ・サフォノフの定理の結果となる。さらに、ゲルハルトの方法は、より一般的な曲率ベースの超曲面フローにも同時に適用される。

幾何学的フローの典型であるように、より一般的な状況でのIMCF解は有限時間特異点を持つことが多く、Iが( a ,∞)の形式をとることができないことが多いことを意味する。^[2]

ホイスケンとイルマネンの弱い解決策

ユン・ガン・チェン、義賀良一、後藤俊一、そしてローレンス・エバンスとジョエル・スプラックの平均曲率フローに関する研究に続いて、ゲルハルト・フイスケンとトム・イルマネンは、リーマン多様体（M、g）の超曲面に対するIMCF方程式を楕円偏微分方程式に置き換えた。

${\displaystyle \operatorname {div} _{g}{\frac {du}{|du|_{g}}}=|du|_{g}}$

M上の実数値関数uに対してです。この方程式の弱解は、変分原理によって指定できます。Huisken と Ilmanen は、漸近平坦または漸近円錐である任意の完全連結な滑らかなリーマン多様体( M、g )と、境界が滑らかな埋め込み部分多様体であるMの任意のプレコンパクトで開部分集合Uに対して、 Uの補集合上では正の弱解であり、 U上では非正である、 M上の適切な局所リプシッツ関数uが存在し、さらに、そのような関数は U の補集合上で一意に決定されることを証明しました。

その考え方は、tが増加するにつれて、 { x  : u ( x ) < t }の境界が、逆平均曲率フローで生じる超曲面を移動し、初期条件はUの境界によって与えられるというものです。しかし、楕円型かつ弱い設定はより広い文脈を与えます。なぜなら、そのような境界は不規則性を持ち、不連続にジャンプする可能性があり、これは通常の逆平均曲率フローでは不可能だからです。

Mが3次元でgが非負のスカラー曲率を持つ特殊なケースにおいて、Huisken と Ilmanen は、 { x  : u ( x ) < t }の境界に対してホーキング質量と呼ばれる特定の幾何学的量を定義でき、 tの増加に対して単調に非減少であることを示した。滑らかな逆平均曲率流のより単純なケースでは、これは局所計算に相当し、1970年代に物理学者Robert Gerochによって示された。Huisken と Ilmanen の設定では、関係する面の不規則性や不連続性の可能性により、これはより非自明である。

ヒュースケンとイルマネンはゲロッホの単調性を拡張した結果、ホーキング質量を用いて「最外」極小曲面の表面積と、非負スカラー曲率を持つ漸近平坦な三次元リーマン多様体のADM質量との間を補間することができた。これにより、リーマン・ペンローズ不等式の特定のケースが解決された。

例: 逆平均曲率流メートル次元球

逆平均曲率フローの簡単な例は、内の同心円状の超球面族によって与えられます。半径 の 次元球面の平均曲率は です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle H={\frac {m}{r}}\in \mathbb {R} }$

球の回転対称性（または一般には等長変換における平均曲率の不変性）により、逆平均曲率流方程式は、半径の初期球に対して常微分方程式に簡約される。 ${\displaystyle \partial _{t}F=H^{-1}\nu }$ ${\displaystyle r_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}r(t)=&{\frac {r(t)}{m}},\\r(0)=&r_{0}.\end{aligned}}}$

この常微分方程式の解（例えば変数分離法で得られる）は

${\displaystyle r(t)=r_{0}e^{t/m}}$ 。

参考文献

1. HuiskenとPolden
2. HuiskenとPolden、59ページ

• ゲルハルト、クラウス (1990). 「非凸超曲面の球面への流れ」. Journal of Differential Geometry . 32 (1): 299– 314. doi : 10.4310/jdg/1214445048 . MR  1064876. Zbl  0708.53045.
• ジェロック, ロバート(1973). 「エネルギー抽出」.ニューヨーク科学アカデミー紀要. 224 (1): 108– 117. Bibcode :1973NYASA.224..108G. doi :10.1111/j.1749-6632.1973.tb41445.x. S2CID  222086296. Zbl  0942.53509.
• Huisken, Gerhard ; Ilmanen, Tom (2001). 「逆平均曲率フローとリーマン・ペンローズ不等式」. Journal of Differential Geometry . 59 (3): 353– 437. doi : 10.4310/jdg/1090349447 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5581-4 . MR  1916951. Zbl  1055.53052.
• Huisken, Gerhard ; Polden, Alexander (1999). 「超曲面の幾何発展方程式」. Hildebrandt, S.; Struwe, M. (編).変分法と幾何発展問題. Centro Internazionale Matematico Estivo 第2回セッション (Cetraro, Italy, June 15–22, 1996). Lecture Notes in Mathematics . Vol. 1713. Berlin: Springer . pp.  45– 84. doi :10.1007/BFb0092667. MR  1731639. Zbl  0942.35047.