イオネスク・トゥルチャの定理

数学的確率論において、イオネスク＝トゥルチャ定理（イオネスク＝トゥルチャ拡張定理とも呼ばれる）は、可算無限個の個々の確率事象からなる確率事象に対する確率測度の存在を論じている。特に、個々の事象は互いに独立している場合もあれば、依存している場合もある。したがって、この定理は単なる可算積測度の存在を越えるものである。この定理は1949年にカッシウス・イオネスク＝トゥルチャによって証明された。^{[1] [2]}

定理の記述

が確率空間であり、が測定可能な空間の列であるとする。各 ${\displaystyle (\Omega _{0},{\mathcal {A}}_{0},P_{0})}$ ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \kappa _{i}\colon (\Omega ^{i-1},{\mathcal {A}}^{i-1})\to (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$

とから導かれるマルコフ核とする。ここで ${\displaystyle (\Omega ^{i-1},{\mathcal {A}}^{i-1})}$ ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i}),}$

${\displaystyle \Omega ^{i}:=\prod _{k=0}^{i}\Omega _{k}{\text{ and }}{\mathcal {A}}^{i}:=\bigotimes _{k=0}^{i}{\mathcal {A}}_{k}.}$

すると、確率測度の列が存在する。

${\displaystyle P_{i}:=P_{0}\otimes \bigotimes _{k=1}^{i}\kappa _{k}}$ シーケンスの積空間上で定義され、${\displaystyle (\Omega ^{i},{\mathcal {A}}^{i})}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$

そして、上に一意に定義された確率測度が存在するので、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \left(\prod _{k=0}^{\infty }\Omega _{k},\bigotimes _{k=0}^{\infty }{\mathcal {A}}_{k}\right)}$

${\displaystyle P_{i}(A)=P\left(A\times \prod _{k=i+1}^{\infty }\Omega _{k}\right)}$

はそれぞれに対して満たされ、 である。（この測度は確率核に等しい条件付き確率を持つ。） ^[3]${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}^{i}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle P}$

アプリケーション

イオネスク・トゥルチャの定理の証明に用いられる構成は、マルコフ決定過程の理論、特にマルコフ連鎖の理論でよく用いられる。^[3]

参照

• 崩壊定理
• 通常の条件付き確率

出典

• クレンケ、アヒム (2013)。Wahrscheinlichkeitstheorie (第 3 版)。ベルリン ハイデルベルク: Springer-Verlag。 pp.  292–294。土井:10.1007/978-3-642-36018-3。ISBN 978-3-642-36017-6。
• Kusolitsch、Norbert (2014)。Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung (第 2 版)。ベルリン;ハイデルベルク: Springer-Verlag。 pp.  169–171 .土井:10.1007/978-3-642-45387-8。ISBN 978-3-642-45386-1。

参考文献

1. イオネスク・トゥルチャ、コネチカット州 (1949)。 「商品の安全性を保証する」。アッティ・アッカド。ナズ。リンセイ レンド。7 : 208–211 .
2. Shalizi, Cosma . 「第3章 正規条件付き確率分布からの無限プロセスの構築」(PDF) . Cosma Shalizi, CMU Statistics, Carnegie Mellon University ./~cshalizi/754/notes 「確率過程理論のほとんどなし：測度論的確率の学生のためのランダム過程のコース、ダイナミクスと統計への応用を視野に入れた、Cosma Rohilla ShaliziとAryeh Kontorovich著」のインデックス。stat.cmu.edu /~cshalizi。
3. アレッサンドロ・アベート、フランク・レディグ、イリヤ・トカチェフ (2014). 「全変動における条件付き確率の摂動の影響について」.統計と確率レターズ. 88 : 1–8 . arXiv : 1311.3066 . doi :10.1016/j.spl.2014.01.009.arXivプレプリント