石森方程式

石森方程式は、日本の数学者石森（1984）によって提唱された偏微分方程式である。この方程式は、平面上で積分可能な非線形スピン1場モデルの最初の例として注目されている（Sattinger, Tracy & Venakides 1991 , p. 78）。

方程式

石森方程式は次の式で表される。

{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x}},

1a

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=-2\alpha ^{2}\mathbf {S} \cdot \left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x}}\wedge {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial y}}\right).

1b

L_{t}=AL-LA

2

方程式は次のように与えられる。

L=\Sigma \partial _{x}+\alpha I\partial _{y},

3a

A=-2i\Sigma \partial _{x}^{2}+(-i\Sigma _{x}-i\alpha \Sigma _{y}\Sigma +u_{y}I-\alpha ^{3}u_{x}\Sigma )\partial _{x}.

3b

ここ

\Sigma =\sum _{j=1}^{3}S_{j}\sigma _{j},

4

これらはパウリ行列であり、は単位行列です。 $\sigma _{i}$ $I$

石森方程式は重要な帰着を持つ。1+1次元では連続古典ハイゼンベルク強磁性体方程式（CCHFE）に帰着する。CCHFEは積分可能である。

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