二等辺三角形
平面上に唯一存在する6点二等辺三角形。網掛け部分は、これらの点を3つ重ねて形成される20個の二等辺三角形のうち4つを示しています。

離散幾何学において、二等辺集合とは、3点の点が二等辺三角形を形成するという性質を持つ点の集合である。より正確には、各3点は最大で2つの距離しか決定しない。これは、直線上に等間隔で並んだ3点によって形成される 退化した二等辺三角形も許容する。

歴史

与えられた次元のユークリッド空間における最大の二等辺集合を求める問題は、 1946 年にポール・エルデシュによって提起された。エルデシュは、この問題の提起において、ユークリッド平面におけるそのような最大の集合は6 点から成ると指摘した。[1] 1947 年の解答では、リロイ・ミルトン・ケリーは、唯一の 6 点平面二等辺集合は正五角形の頂点と中心から成ることをより明確に示した。三次元では、ケリーは 8 点二等辺集合を発見した。このうち 6 点は同一であり、残りの 2 点は五角形の中心を通る垂直線上にあり、中心から五角形の頂点までの距離と同じ距離にある。[2]この三次元の例は後に、最適解であることが証明され、唯一の最適解であることがわかった。[3] [4]

2距離集合への分解

ケリーの8点三次元二等辺集合は、（五角形に垂直な線上の3点）と（五角形の5つの頂点）の2つの集合に分解でき、 の各点はのすべての点から等距離であるという性質を持つ。このような分解が可能な場合、任意の次元のユークリッド空間において、とは垂直な部分空間に存在しなければならず、はその部分空間内で二等辺集合でなければならず、その2つの部分空間の交点を加えてから形成される集合も、その部分空間内で二等辺集合でなければならない。このように、高次元の二等辺集合は、低次元の二等辺集合に分解できる場合がある。一方、二等辺集合にこのような分解がない場合は、二等辺であることよりも強い性質、つまり、すべての点のペアの間に2つの距離しかないという性質を持つ。[5] X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} Y ′ {\displaystyle Y'} Y {\displaystyle Y}

この分解定理にもかかわらず、同一次元における最大の二距離集合と最大の二等辺集合の大きさが異なる場合がある。例えば、平面上では、最大の二距離集合は5点（正五角形の頂点）であるのに対し、最大の二等辺集合は6点である。この場合、6点二等辺集合は分解を持ち、 は（0次元空間における）中心点の単独集合であり、残りのすべての点から構成される。[5] X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y}

上限

次元空間において、二等辺集合は最大で 個の点を持つことができる。[5]これはと については厳密であるが、他の次元では必ずしもそうではない。次元二等辺集合における の点の最大数は個であることが知られている[6]。 d {\displaystyle d} ( d + 2 2 ) {\displaystyle {\binom {d+2}{2}}} d = 6 {\displaystyle d=6} d = 8 {\displaystyle d=8} d {\displaystyle d} d = 1 , 2 , … , 8 {\displaystyle d=1,2,\dots ,8}

3、6、8、11、17、28、30、45（OEISの配列A175769）

しかし、これらの数値は高次元では知られていない。[7]

工事

リソネックは、点を 含む二距離集合の次のような構成法を示している 。これは、 点を含む二等辺集合も生成する。次元ユークリッド空間において、(に対して) を、番目の座標軸に沿って原点から単位距離にあるベクトルとすると、のすべての点からなる集合を構築する。すると、 は座標和 を持つ点の次元部分空間に存在し、その凸包は超単体である。これは 2 つの距離のみを持つ。単位ベクトルの重なり合うペアの和から形成される 2 点の距離はで、単位ベクトルの互いに素なペアから形成される 2 点の距離は である。 にもう 1 点をその重心に追加すると、次元二等辺集合が形成される。例えば、 に対して、この構成は最適な 8 点集合ではなく、正八面体の頂点と中心の 7 点からなる次善の二等辺集合を生成する。 [6] ( d + 1 2 ) {\displaystyle {\binom {d+1}{2}}} ( d + 1 2 ) + 1 {\displaystyle {\binom {d+1}{2}}+1} d + 1 {\displaystyle d+1} e i {\displaystyle e_{i}} i = 1 , … , d + 1 {\displaystyle i=1,\dots ,d+1} i {\displaystyle i} S {\displaystyle S} e i + e j {\displaystyle e_{i}+e_{j}} i ≠ j {\displaystyle i\neq j} S {\displaystyle S} d {\displaystyle d} 2 {\displaystyle 2} Δ d + 1 , 2 {\displaystyle \Delta _{d+1,2}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 {\displaystyle 2} S {\displaystyle S} d {\displaystyle d} d = 3 {\displaystyle d=3}

一般化

同じ問題は他の距離空間についても考えられます。例えば、ハミング空間では、同次元のユークリッド空間よりもやや小さい上限が知られています。[7]超距離空間では、空間全体（およびその部分集合）は二等辺集合です。そのため、超距離空間は二等辺空間と呼ばれることもあります。しかし、すべての二等辺集合が超距離的であるわけではありません。例えば、鈍角ユークリッド二等辺三角形は超距離的ではありません。[8]

参考文献

  1. ^ グロスマン、ハワード;ビクター・テボー。シェル、ED;シェッフ、ヘンリー。ポール・エルデシュ(1946 年 8 月)、「解決のための問題: E731–E735」、The American Mathematical Monthly、53 (7): 394、doi :10.2307/2305860、JSTOR  2305860特に問題E735を参照してください。
  2. ^ エルデシュ, ポール;ケリー, LM (1947年4月)、「E735」、アメリカ数学月刊誌、54 (4): 227、doi :10.2307/2304710、JSTOR  2304710
  3. ^ Croft, HT (1962)、「3次元空間における9点および7点配置」、ロンドン数学会紀要、第3シリーズ、12 : 400–424、doi :10.1112/plms/s3-12.1.400、MR  0155230
  4. ^ 木戸 宏明 (2006)、「三次元ユークリッド空間における二等辺八点集合の分類」、Electronic Journal of Combinatorics、27 (3): 329– 341、doi : 10.1016/j.ejc.2005.01.003、MR  2206471
  5. ^ abc Blokhuis, A. (1983)、「第7章 二等辺点集合」、Few-Distance Sets（博士論文）、アイントホーフェン工科大学、pp.  46– 49、doi :10.6100/IR53747、Zbl  0516.05017
  6. ^ ab Lisoněk, Petr (1997), 「​​新しい最大2距離集合」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズA、77 (2): 318– 338、doi : 10.1006/jcta.1997.2749、MR  1429084
  7. ^ ab Ionin, Yury J. (2009)、「二等辺三角形集合」、Electronic Journal of Combinatorics、16 (1): Research Paper 141, 24、doi : 10.37236/230、MR  2577309
  8. ^ フィードラー、ミロスラフ（1998）、「ユークリッド点空間における超距離集合」、電子線形代数誌、3：23-30、doi：10.13001/1081-3810.1012、MR  1615350
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