反復限界

多変数微積分学において、反復極限とは、次の形式の 数列の極限または関数の極限である。

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\left(\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\right)}$ 、

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{y\to b}\left(\lim _{x\to a}f(x,y)\right)}$ 、

または他の同様の形式。

反復極限は、値が少なくとも2つの変数に依存する式に対してのみ定義されます。このような極限を評価するには、2つの変数のうちの1つがある数値に近づくにつれて極限処理を実行し、値がもう1つの変数のみに依存する式を取得します。そして、もう1つの変数がある数値に近づくにつれて極限処理を実行します。

反復極限の種類

このセクションでは、2変数における反復極限の定義を紹介します。これらの定義は、複数の変数にも容易に一般化できます。

シーケンスの反復限界

各 に対して、 を実数列とする。このとき、反復極限には2つの形式がある。 ${\displaystyle n,m\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$ 。

例えば、

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$ 。

それから

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }1=1}$ 、 そして

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }0=0}$ 。

関数の反復極限

とする。すると、反復極限には2つの形式があり、 ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$ 。

例えば、 ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}$ 。

それから

${\displaystyle \lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{y\to 0}0=0}$ 、 そして

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}1=1}$ . ^[1]

xとyの極限は無限大でもとることができる。つまり、

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$ 。

関数列の反復極限

各 に対して、 を関数の列とする。このとき、反復極限には2つの形式がある。 ${\displaystyle n\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ 。

例えば、 ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$ 。

それから

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to 1}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }1=1}$ 、 そして

${\displaystyle \lim _{x\to 1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to 1}0=0}$ . ^[2]

xの極限は無限大でもとることができる。つまり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ 。

例えば、 ${\displaystyle f_{n}:(0,\infty )\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{n}}}}$ 。

それから

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }0=0}$ 、 そして

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to \infty }0=0}$ 。

nの極限は離散的に取られますが、 xの極限は連続的に取られることに注意してください。

複数の変数における他の限界との比較

このセクションでは、2変数における様々な極限の定義を紹介します。これらは多変数にも容易に一般化できます。

シーケンスの限界

二重シーケンスの場合、極限の別の定義があり、これは一般に二重極限と呼ばれ、次のように表されます。 ${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$ 、

これは、すべての に対して、 が成り立つような が存在することを意味する。^[3]${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n,m>N}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<\epsilon }$

次の定理は、二重極限と反復極限の関係を述べています。

定理1 .が存在し、 Lに等しく、任意の大きなmに対して存在し、任意の大きなnに対して存在する場合、およびも存在し、それらはLに等しい、すなわち、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$ . ^{[4] [5]}

証明任意の に対して が存在することにより、となる が存在する。 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N_{1}=N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n,m>N_{1}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

が存在する各 が存在する場合、 を意味するが存在する。 ${\displaystyle n>N_{0}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=A_{n}}$ ${\displaystyle N_{2}=N_{2}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m>N_{2}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-A_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

上記の記述は両方とも と に対して真である。上記の2つの式を組み合わせると、任意の に対して がすべての に対して存在する。 ${\displaystyle n>\max(N_{0},N_{1})}$ ${\displaystyle m>\max(N_{1},N_{2})}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle \left|A_{n}-L\right|<\epsilon }$ 、

これは を証明します。 同様に についても、 が証明されます。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}\displaystyle }$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$

例えば、

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}}$ 。

、、およびなので、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{m}}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=0}$ 。

この定理は、単一極限とが収束することを要求する。この条件は省略できない。例えば、 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

${\displaystyle a_{n,m}=(-1)^{m}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)}$ 。

すると、

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=0}$ 、

しかし、存在しません。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

そもそも存在しない からです。${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

機能の限界

2変数関数の場合、他に2種類の極限があります。1つは通常の極限で、 ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ 、

これは、すべての に対して、 が存在することを意味し、を意味する。^[6]${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$ ${\displaystyle 0<{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}<\delta }$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

この極限が存在するためには、点 ( a , b ) に近づくあらゆる経路において、 f ( x , y ) をLに可能な限り近づける必要がある。この定義では、点 ( a , b ) は経路から除外されている。したがって、点 ( a , b ) におけるfの値は、たとえ定義されていたとしても、この極限には影響しない。

もう1つのタイプは二重極限であり、

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$ 、

これは、すべての に対して、 が存在し、を意味することを意味する。^[7]${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta }$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

この極限が存在するためには、直線x = aとy = bを除く、点 ( a , b )に近づくあらゆる経路において、 f ( x , y ) をLに可能な限り近づける必要がある。言い換えれば、直線x = aとy = bに沿ったfの値は、この極限に影響を与えない。これは、点 ( a , b ) のみが除外される通常の極限とは異なる。この意味で、通常の極限は二重極限よりも強い概念である。

定理2 . が存在しLに等しい場合、が存在しLに等しい、すなわち、${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ 。

これらの極限はどちらも、最初に1つの極限を取り、次に別の極限を取るという手順を踏む必要はありません。これは、反復極限の場合とは対照的です。反復極限では、極限処理が最初にx方向、次にy方向（あるいは逆の順序）で行われます。

次の定理は、二重極限と反復極限の関係を述べています。

定理3 . が存在し、 Lに等しく、bの近くの任意のyに対して存在し、aの近くの任意のxに対して存在する場合、およびも存在し、それらはLに等しい。すなわち、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$ 。

例えば、

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$ 。

、およびなので、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad y\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad y=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad x=0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1}$ 。

(この例では、は存在しないことに注意してください。) ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$

この定理は、単一の極限とが存在することを前提としています。この条件は省略できません。例えば、 ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)=x\sin \left({\frac {1}{y}}\right)}$ 。

すると、

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0}$ 、

しかし、存在しません。${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)}$

これは、そもそもx が0 に近い場合には 存在しないからです。${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)}$

定理 2 と 3 を組み合わせると、次の式が得られます。

系3.1が存在し、 Lに等しく、b の近くの任意のyに対して が存在し、a の近くの任意のxに対して が存在する場合、およびも存在し、それらはLに等しい。すなわち、 ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ 。

関数の無限大極限

2変数関数の場合、無限遠における二重極限を定義することもできる。${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$ 、

つまり、すべての に対して、 が存在し、 が成り立つことを意味します。 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M=M(\epsilon )>0}$ ${\displaystyle x>M}$ ${\displaystyle y>M}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

負の無限大における限界についても同様の定義が可能です。

次の定理は、無限遠における二重極限と無限遠における反復極限の関係を述べています。

定理4 .が存在し、 Lに等しく、任意の大きなyに対して存在し、任意の大きなxに対して存在する場合、およびも存在し、それらはLに等しい。すなわち、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$ 。

例えば、

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x\sin y}{xy+y}}}$ 。

、およびなので、 ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)={\frac {\sin y}{y}}}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$ 。

この定理は、単一の極限とが存在することを前提としています。この条件は無視できません。例えば、 ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\cos x}{y}}}$ 。

すると、

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$ 、

しかし、存在しません。${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

これは、固定されたyに対してはそもそも 存在しないからです。${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

定理の無効な逆

定理1、3、4の逆は成立しない。つまり、たとえそれらが等しいとしても、反復極限の存在は二重極限の存在を意味しない。反例として、

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$

点(0, 0)の近くでは、

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0}$ 。

一方、二重極限は存在しない。これは、( x , y ) = ( t , t ) → (0,0) の 経路に沿って極限をとることでわかる。${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}}$ 、

そして、経路 ( x , y ) = ( t , t ² ) → (0,0) に沿って、

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t^{2}\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t^{2})=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{3}}{t^{2}+t^{4}}}=0}$ 。

交換限界に関するムーア・オズグッド定理

上記の例では、極限を入れ替えても結果が同じになる場合とならない場合があることが分かります。極限を入れ替えるための十分条件は、ムーア・オズグッド定理によって与えられます。^[8]入れ替え可能性の本質は、一様収束性にあります。

シーケンスの交換限界

次の定理により、シーケンスの 2 つの限界を交換できます。

定理5 . mにおいて一様で、かつ任意の大きなnに対して、とが存在し、は二重極限に等しい、すなわち、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=b_{m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}=c_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$ . ^[3]

証明: 一様収束により、任意の に対して が存在し、すべての に対してが成り立つ。${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n,k>N_{1}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-a_{k,m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

のとき、 が成り立ち、これはが極限 に収束するコーシー列であることを意味します。さらに、 のとき、 が成り立ちます。${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle \left|c_{n}-c_{k}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \left|c_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

一方、 を最初に取ると、 となります。${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-b_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

各点収束により、任意の および に対して、が存在するのでが成り立ちます。${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n>N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}(\epsilon ,n)\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m>N_{2}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-c_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

すると、その固定された に対して、が成り立ちます。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m>N_{2}}$ ${\displaystyle \left|b_{m}-L\right|\leq \left|b_{m}-a_{n,m}\right|+\left|a_{n,m}-c_{n}\right|+\left|c_{n}-L\right|\leq \epsilon }$

これは、 であることを証明します。${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=L=\lim _{n\to \infty }c_{n}}$

また、 を取ると、この極限も に等しいことがわかります。${\displaystyle N=\max\{N_{1},N_{2}\}}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$

系は無限和の互換性についてです。

系5.1 .が一様収束（mにおいて）し、大きなnごとに収束する場合、 .${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$

証明. 定理5を に直接適用する。${\displaystyle S_{k,\ell }=\sum _{m=1}^{k}\sum _{n=1}^{\ell }a_{n,m}}$

関数の極限の交換

多変数関数の場合も同様の結果が当てはまります。

定理6 .上で一様（yに関して）であり、a の近くの任意のxに対して、とが存在し、が二重極限に等しい場合、すなわち、${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)=g(y)}$ ${\displaystyle Y\setminus \{b\}}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)=h(x)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$ . ^[9]

ここでのaとb は無限大になる可能性があります。

証明: 存在一様極限により、任意の に対して が存在し、すべての に対して となり、が意味する。${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta _{1}(\epsilon )>0}$ ${\displaystyle y\in Y\setminus \{b\}}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{1}}$ ${\displaystyle 0<\left|w-a\right|<\delta _{1}}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-f(w,y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

なので、 が成り立ちます。コーシーの基準により、が存在し、数 に等しくなります。さらに、 なので、 が成り立ちます。${\displaystyle y\to b}$ ${\displaystyle \left|h(x)-h(w)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle w\to a}$ ${\displaystyle \left|h(x)-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

一方、 を最初に取ると、 となります。${\displaystyle w\to a}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-g(y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

点ごとの極限の存在により、および の近くの任意の に対して、 が存在するので が意味されます。${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta _{2}(\epsilon ,x)>0}$ ${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-h(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

すると、その固定された に対して、が成り立ちます。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$ ${\displaystyle \left|g(y)-L\right|\leq \left|g(y)-f(x,y)\right|+\left|f(x,y)-h(x)\right|+\left|h(x)-L\right|\leq \epsilon }$

これは、 であることを証明します。${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)=L=\lim _{x\to a}h(x)}$

また、 を取ると、この極限も に等しいことがわかります。${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

この定理は の存在を意味しないことに注意。反例は(0,0) 付近である。^[10]${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$

関数列の交換極限

ムーア・オズグッド定理の重要なバリエーションは、関数のシーケンスに特有のものです。

定理7 .上で一様（x）であり、任意の大きなnに対して、と が存在し、 は等しい。すなわち、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)=L_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }L_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ . ^[11]

ここでのaは無限大になる可能性があります。

証明: 一様収束により、任意の に対して が存在し、すべての に対してが成り立つ。${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle x\in D\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle n,m>N}$ ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

のとき、 が成り立ち、これはが極限 に収束するコーシー列であることを意味します。さらに、 のとき、 が成り立ちます。${\displaystyle x\to a}$ ${\displaystyle \left|L_{n}-L_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle \left|L_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

一方、 を最初に取ると、 となります。${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

点ごとの極限の存在により、任意の および に対して、となるような が存在し、 が意味されます。${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \delta (\epsilon ,n)>0}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-L_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

すると、その固定された に対して、が成り立ちます。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|\leq \left|f(x)-f_{n}(x)\right|+\left|f_{n}(x)-L_{n}\right|+\left|L_{n}-L\right|\leq \epsilon }$

これは、 であることを証明します。${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L=\lim _{n\to \infty }L_{n}}$

系として、一様収束の連続定理が次のように成り立ちます。

系7.1 . 、、が において一様（xに関して）連続であれば、も において連続である。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle x=a\in X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

言い換えれば、連続関数の一様極限は連続です。

証明. 定理 7 により、.${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=f(a)}$

もう 1 つの帰結は、極限と無限和の互換性に関するものです。

系7.2 . が（xに関して）一様収束し、すべてのnに対して が存在する場合、 となります。${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$ ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)}$

証明: 定理7を近傍に直接適用する。${\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}f_{n}(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

アプリケーション

行列内の無限要素の合計

無限要素の 行列を考える

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1&0&0&\cdots \\0&1&-1&0&\cdots \\0&0&1&-1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$ 。

すべての項目の合計を求めたいとします。まず列ごとに合計すると、最初の列の値は1で、他の列の値は0になります。したがって、すべての列の合計は1になります。しかし、まず行ごとに合計すると、すべての行の値は0になります。したがって、すべての行の合計は0になります。

このパラドックスの説明は、垂直方向の無限大への和と水平方向の無限大への和が、互いに交換できない2つの極限過程であるということである。 を要素数 ( n , m )までの要素数の合計とすると、 となるが、 となる。この場合、二重極限は存在しないため、この問題は明確に定義されていない。 ${\displaystyle S_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }S_{n,m}=1}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }S_{n,m}=0}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}S_{n,m}}$

無限区間での積分

一様収束の積分定理により、 がに一様収束すると、 nにおける極限と有界区間上の積分は交換可能になります。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [a,b]\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x}$ 。

しかし、このような性質は、非有界区間上の不定積分では成り立たない可能性がある。この場合、ムーア・オズグッドの定理に依拠することができる。 ${\displaystyle [a,\infty )\subseteq X}$

例として 考えてみましょう。${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x}$

まず、積分関数を について展開します。（ここでx =0 は極限の場合です。） ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}={\frac {x^{2}e^{-x}}{1-e^{-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

微積分により、およびに対して が成り立つことが証明できます。ワイエルシュトラスのM検定により、は に一様収束します。 ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle x^{2}e^{-kx}\leq {\frac {4}{e^{2}k^{2}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

次に、一様収束の積分定理により、. ${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x}$

さらに、この極限を無限和と交換するには、ムーア・オズグッドの定理により、無限級数が一様収束することが求められます。 ${\displaystyle \lim _{b\to \infty }}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}$

に注意してください。ここでも、ワイエルシュトラスのM検定により、は に一様に収束します。 ${\displaystyle \int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x={\frac {2}{k^{3}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

すると、ムーア・オズグッドの定理により、 となります。（ここではリーマンゼータ関数です。） ${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{k^{3}}}=2\zeta (3)}$

参照

• シーケンスの極限
• 関数の極限
• 一様収束
• 極限操作の交換

注記

1. 次の事実に注意すべきである

   ${\displaystyle \lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}={\begin{cases}1&{\text{for }}x\neq 0\\0&{\text{for }}x=0\end{cases}}}$

   しかし、すぐに限界に達するので、これは小さな問題です。${\displaystyle \lim _{x\to 0}}$
2. 次の事実に注意すべきである

   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{n}={\begin{cases}0&{\text{for }}x\in [0,1)\\1&{\text{for }}x=1\end{cases}}}$ 。

   しかし、すぐに という極限をとるので、これは であることが暗黙的に意味されるため、これは小さな問題です。${\displaystyle \lim _{x\to 1}}$ ${\displaystyle x\neq 1}$
3. Zakon, Elias (2011). 「第4章 関数の極限と連続性」.数学解析学 第1巻. p. 223. ISBN 9781617386473。
4. Habil, Eissa (2005). 「Double Sequences and Double Series」 . 2022年10月28日閲覧。
5. アポストル、トム・M. (2002). 「無限級数と無限積」.数学解析（第2版）. ナローサ. pp.  199– 200. ISBN 978-8185015668。
6. スチュワート、ジェームズ(2020). 「第14.2章 極限と連続性」.多変数微分積分学（第9版）. pp.  952– 953. ISBN 9780357042922。
7. ザコン、エリアス (2011). 「第4章 関数の極限と連続性」.数学解析学 第1巻. pp.  219– 220. ISBN 9781617386473。
8. テイラー、アンガス・E. (2012).一般関数理論と積分論. ドーバー数学シリーズ. pp.  139– 140. ISBN 9780486152141。
9. Kadelburg, Zoran (2005). 「二つの極限の交換」 . 2022年10月29日閲覧。
10. ゲルバウム、ベアナード、オルムステッド、ジョン (2003). 「第9章 2変数関数」. 『解析における反例』 pp.  118– 119. ISBN 0486428753。
11. ローリング、テリー. 「交換極限に関するムーア・オズグッド定理」(PDF) . 2022年10月28日閲覧。