反復モノドロミー群

幾何学的群論および力学系において、被覆写像の反復モノドロミー群は、被覆のすべての反復に対する基本群のモノドロミー作用を記述する群である。したがって、空間間の単一の被覆写像は、被覆をそれ自体の上に繰り返し配置することで、被覆の塔を作成するために使用される。被覆空間のガロア理論の観点から、この空間上の構成は群上の構成に対応すると予想される。反復モノドロミー群はこの構成を提供し、被覆の組合せ論と記号的ダイナミクスを符号化するために適用され、自己相似群の例を提供する。

意味

fの反復モノドロミー群は次の商群です。

${\displaystyle \mathrm {IMG} f:={\frac {\pi _{1}(X,t)}{\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {Ker} \,\digamma ^{n}}}}$

どこ ：

• ${\displaystyle f:X_{1}\rightarrow X}$ は、経路連結かつ局所経路連結な位相空間Xの部分集合による被覆であり、${\displaystyle X_{1}}$
• ${\displaystyle \pi_{1}(X,t)}$ はXの基本群であり、
• ${\displaystyle \digamma :\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-1}(t)}$ はfのモノドロミー作用である。
• ${\displaystyle \digamma ^{n}:\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-n}(t)}$ はf、の反復のモノドロミー作用です。${\displaystyle n^{\mathrm {th} }}$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} _{0}}$

アクション

反復モノドロミー群は、原像の 根付き木に対して自己同型的に作用する。

${\displaystyle T_{f}:=\bigsqcup _{n\geq 0}f^{-n}(t),}$

ここで、頂点はとの辺によって接続されます。 ${\displaystyle z\in f^{-n}(t)}$ ${\displaystyle f(z)\in f^{-(n-1)}(t)}$

例

有理関数の反復モノドロミー群

させて ：

• fは複素有理関数である
• ${\displaystyle P_{f}}$ 臨界点の順方向軌道の和集合（臨界後集合）とする。

が有限である場合（または蓄積点の有限集合を持つ場合）、 fの反復モノドロミー群は被覆 の反復モノドロミー群であり、 はリーマン球面です。 ${\displaystyle P_{f}}$ ${\displaystyle f:{\hat {C}}\setminus f^{-1}(P_{f})\rightarrow {\hat {C}}\setminus P_{f}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$

有理関数の反復モノドロミー群は、古典群論の観点から見ると、通常、特異な性質を持つ。その多くは無限に提示され、多くは中間的な増加を示す。

多項式のIMG

バシリカ群は多項式の反復モノドロミー群である。${\displaystyle z^{2}-1}$

参照

• 成長率（群論）
• 従順なグループ
• 複雑なダイナミクス
• ジュリア集合

参考文献

• Volodymyr Nekrashevych, Self-Similar Groups , Mathematical Surveys and Monographs Vol. 117, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005; ISBN 0-412-34550-1。
• ケビン・M・ピルグリム『複雑動的システムの結合』シュプリンガー・フェアラーク、ベルリン、2003年、ISBN 3-540-20173-4。

外部リンク

• arXiv .org - 反復モノドロミー グループ - 反復モノドロミー グループに関するプレプリント。
• ローラン・バルトルディのページ-ジュリア集合 に関するデーンのツイストを説明する映画。
• mathworld .wolfram.com - モノドロミー グループのページ。