ヤコビ境界問題

ヤコビ境界問題は、ヤコビ不等式（微分代数多様体の絶対次元上の不等式）の妥当性を、その定義方程式を用いて問う問題である。これはコルチンの問題の一つである。

この不等式は、アフィン空間におけるベズーの定理の微分代数的類似物である。ヤコビによって初めて定式化されたが、1936年にジョセフ・リットは、ヤコビが絶対次元という厳密な概念さえ持っていなかったことから、この問題が厳密ではないことを認識した（ヤコビとリットは「順序」という用語を用いており、リットは超越次数という概念を用いて初めてこの用語の厳密な定義を与えた）。直感的に言えば、絶対次元とは、常微分方程式系の解を特定するために必要な積分定数の数である。この不等式の数学的証明は1936年以来公開されている。

声明

を特性零の微分体とし、微分多項式が消滅することで決定される微分代数多様体を考える。が有限絶対次元 の既約成分である場合、${\displaystyle (K,\partial )}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle u_{1},\ldots,u_{n}\in K[x_{1},\ldots,x_{n}]_{\partial}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle \Gamma}$

${\displaystyle a(\Gamma _{1})\leq J(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}).}$

上の図は*ヤコビ数*です。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle J(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$

${\displaystyle \max_{\sigma\inS_{n}}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{ord}_{x_{i}}^{\partial}(u_{\sigma(i)})}$ 。

参考文献

• リット, ジョセフ・F. (1938). 「微分方程式理論の代数的側面」(PDF) .アメリカ数学会創立50周年記念講演集. 第2巻. AMS. pp.  35– 55. ISBN 0-8218-0119-8。
• ランドー、バーバラ・A. (1970). 「一階微分方程式系の位数に対するヤコビの境界」アメリカ数学会誌. 152 : 119–135 . doi : 10.1090/S0002-9947-1970-0279079-1 .
• オリヴィエ, フランソワ (2022). 「ヤコビの境界：ケーニヒ、エゲルヴァーリ、リットの数学的言語によるヤコビの結果の翻訳」.工学、コミュニケーション、コンピューティングにおける応用代数. 34 (5): 793– 885. arXiv : 2109.03620 . doi : 10.1007/s00200-022-00547-6 . S2CID  237440393 .