ヤコビの定理（幾何学）

隣接する色の付いた角の大きさは等しい。点Nは三角形△ ABCとこれらの角のヤコビ点である。

平面幾何学において、ヤコビ点とは、三角形△ ABCと三角α、β、γによって決まるユークリッド平面上の点である。この情報から、次の 3点X、Y、Zを決定することができる。そして、カール・フリードリヒ・アンドレアス・ヤコビ の定理により、直線AX、BY、CZは、ヤコビ点と呼ばれる点Nにおいて平行となる^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。 [ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ZAB&=\angle YAC&=\alpha ,\\\angle XBC&=\angle ZBA&=\beta ,\\\angle YCA&=\angle XCB&=\gamma .\end{aligned}}}$$

ヤコビ点はフェルマー点の一般化であり、 α = β = γ = 60°とし、△ ABC に120° 以上の角度がないとする ことで得られます。

上記の3つの角度が等しい場合、Nは面座標で 与えられる直角双曲線上にあります。

$${\displaystyle yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0,}$$

これはキーパートの双曲線です。3つの等しい角度を選択するごとに三角形の中心が決まります。

ヤコビ点は次のようにさらに一般化できます。三角形ABCの辺に点K、L、M、N、O、Pを BK/KC = CL/LB = CM/MA = AN/NC = AO/OB = BP/PA となるように作図し、三角形OPD、KLE、MNFを ∠ DOP = ∠ FNM、 ∠ DPO = ∠ EKL、 ∠ ELK = ∠ FMNとなるように作図し、三角形LMY、NOZ、PKXがそれぞれ三角形OPD、KLE、MNFと相似であれば、DY、EZ、FXは共線です。^{[ 4 ]}

参考文献

1. de Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry . Dynamic Mathematics Learning. pp.  138– 140. ISBN 9780557102952。
2. Glenn T. Vickers, "Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic", Forum Geometricorum 15 , 2015, 179–183. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201518.pdf 2018年4月24日アーカイブ、 Wayback Machine
3. Glenn T. Vickers, "The 19 Congruent Jacobi Triangles", Forum Geometricorum 16, 2016, 339–344. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201642.pdf 2018年4月24日アーカイブ、 Wayback Machineより
4. Michael de Villiers、「フェルマー-トリチェリ点のさらなる一般化」、 Mathematical Gazette、1999年、14-16ページ。https ://www.researchgate.net/publication/270309612_8306_A_Further_Generalisation_of_the_Fermat-Torricelli_Point

外部リンク

•   Kostas Vittas によって書かれたヤコビの定理の簡単な証明
• Dynamic Geometry SketchesでのFermat-Torricelli の一般化。最初のインタラクティブ スケッチでは Fermat-Torricelli 点を Jacobi 点に一般化し、2 番目のスケッチでは Jacobi 点をさらに一般化します。