ヤコビゼータ関数

数学では、ヤコビ ゼータ関数Z ( u ) は、ヤコビ ゼータ関数Θ(u)の対数導関数です。一般に^{[ 1 ]}とも表記されます。${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)}$

${\displaystyle \Theta (u)=\Theta _{4}\left({\frac {\pi u}{2K}}\right)}$

${\displaystyle Z(u)={\frac {\partial }{\partial u}}\ln \Theta (u)}$ ${\displaystyle ={\frac {\シータ '(u)}{\シータ (u)}}}$ ^{[ 2 ]}

${\displaystyle Z(\phi |m)=E(\phi |m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}F(\phi |m)}$ ^{[ 3 ]}

ここで、E、K、Fは、第一種および第二種の一般的な不完全楕円積分です。ヤコビ・ゼータ関数はヤコビ・シータ関数の一種であり、関連するすべての分野および応用に応用可能です。

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)=Z(u)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}v-{\frac {E}{K}}dv}$ ^{[ 1 ]}

これはヤコビの一般的な表記法、、、 。[ ^{1 ]と}ヤコビのゼータ関数を関連付けます。${\displaystyle \operatorname {dn} {u}={\sqrt {1-m\sin {\theta }^{2}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} u=\sin {\theta}}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} u=\cos {\theta}}$

追加の関係としては、

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{1}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{1}{\frac {\pi u}{2K}}}}-{\frac {\operatorname {cn} {u}\,\operatorname {dn} {u}}{\operatorname {sn} {u}}}}$ ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{2}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{2}{\frac {\pi u}{2K}}}}-{\frac {\operatorname {sn} {u}\,\operatorname {dn} {u}}{\operatorname {cn} {u}}}}$ ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{3}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{3}{\frac {\pi u}{2K}}}}-k^{2}{\frac {\operatorname {sn} {u}\,\operatorname {cn} {u}}{\operatorname {dn} {u}}}}$ ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{4}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{4}{\frac {\pi u}{2K}}}}}$ ^{[ 1 ]}

参考文献

1. Gradshteyn, Ryzhik, IS, IM 「積分、級数、積の表」（PDF）。booksite.com 。
2. アブラモウィッツ、ミルトン; ステガン、アイリーン A. (2012-04-30). 『数学関数ハンドブック：数式、グラフ、数学表付き』 クーリエ社. ISBN 978-0-486-15824-2。
3. Weisstein, Eric W. 「Jacobi Zeta Function」 . mathworld.wolfram.com . 2019年12月2日閲覧。

• https://booksite.elsevier.com/samplechapters/9780123736376/Sample_Chapters/01~Front_Matter.pdf Pg.xxxiv
• アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]。「第16章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第55巻（1972年12月発行の第10刷に訂正を加えた第9刷、初版）。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省国立標準局、ドーバー出版。578ページ。ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• http://mathworld.wolfram.com/JacobiZetaFunction.html