ヤコビアン予想
On invertibility of polynomial maps (mathematics)
ヤコビアン予想
分野代数幾何学
推測オット・ハインリヒ・ケラー
推測では1939
相当するディクスミア予想

数学において、ヤコビアン予想は多変数多項式に関する有名な未解決問題である。これは、n次元空間からそれ自身への多項式関数のヤコビ行列式が非零定数である場合、その関数には逆多項式が存在するというものである。この予想は1939年にオット＝ハインリヒ・ケラー[1]によって初めて提唱され、シュリーラム・アビヤンカール[要出典]によって広く知られるようになった。これは、微積分の知識さえあれば理解できる代数幾何学における難問の例として広く知られるようになった。

ヤコビアン予想は、多数の公表済みおよび未公表の証明に微妙な誤りが含まれていることで悪名高い。[2] [3] 2018年現在[update]、2変数の場合であっても証明されていない。[要出典]ファン・デン・エッセンは、変数の数が多い場合にはこの予想が誤りである可能性があるという証拠を示している。[2]

ヤコビアン予想は、スティーブン・スメールの1998年の「次世紀の数学的問題リスト」の16番目に挙げられている。[4]

ヤコビ行列式

N > 1 を固定整数とし、体 k に係数を持つ変数 X 1 , ..., X N の多項式f 1 , ... , f Nを考える。ベクトル値関数F : k N → k Nを次のように定義する。

F ( X 1、...、X N ) = ( f 1 ( X 1、...、X N )、...、f N ( X 1、...、X N ))。

このようにして生じる任意の写像F : k N → k Nは多項式写像と呼ばれます。

Fのヤコビ行列式はJ Fと表記され、 f iのX jに関する偏微分からなるN × Nヤコビ行列の行列式として定義されます。

J F = | ∂ f 1 ∂ X 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ X N ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f N ∂ X 1 ⋯ ∂ f N ∂ X N | , {\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{N}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{N}}}\end{matrix}}\right|,}

J F自体はN 個の変数X 1、...、X Nの多項式関数です。

予想の定式化

多変数連鎖律から、F が多項式逆関数G : k N → k Nを持つ場合、J F は多項式逆関数を持つため、非零定数となることが分かる。ヤコビアン予想は、以下の部分逆関数である。

ヤコビアン予想: k の標数が0であるとします。J Fが非ゼロの定数である場合、 F には逆関数G : k N → k Nがあり、これは正則です。つまり、その成分は多項式です。

ファン・デン・エッセンによれば、[2]この問題は1939年にケラーによって2つの変数と整数係数の限定されたケースに対して初めて推測された。

ヤコビアン予想の明らかな類似は、kが 1つの変数に対しても特性p > 0を持つ場合、成立しない。体の特性は、0でない場合、素数、つまり少なくとも2でなければならない。多項式x − x pの導関数は1 − px p −1であり、これは1である（pxが0であるため）が、逆関数は存在しない。しかし、コシヴィ・アジャマグボ [ht]は、 pが体拡大k ( X ) / k ( F )の次数を割り切れないという仮説を追加することで、ヤコビアン予想を特性p > 0に拡張することを提案した。[5]

多項式逆の存在は、Fが単に変数について線型な関数の集合である場合に明らかである。なぜなら、その逆もまた線型な関数の集合となるからである。簡単な非線型の例を以下に示す。

u = x 2 + y + x {\displaystyle u=x^{2}+y+x}
v = x 2 + y {\displaystyle v=x^{2}+y}

したがってヤコビ行列式は

J F = | 1 + 2 x 1 2 x 1 | = ( 1 + 2 x ) ( 1 ) − ( 1 ) 2 x = 1. {\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}1+2x&1\\2x&1\end{matrix}}\right|=(1+2x)(1)-(1)2x=1.}

この場合、逆多項式が存在する。

x = u − v {\displaystyle x=u-v}
y = v − ( u − v ) 2 . {\displaystyle y=v-(u-v)^{2}.}

しかし、 Fを少し 修正すると、

u = 2 x 2 + y {\displaystyle u=2x^{2}+y}
v = x 2 + y {\displaystyle v=x^{2}+y}

すると行列式は

J F = | 4 x 1 2 x 1 | = ( 4 x ) ( 1 ) − 2 x ( 1 ) = 2 x , {\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}4x&1\\2x&1\end{matrix}}\right|=(4x)(1)-2x(1)=2x,}

これは定数ではなく、ヤコビアン予想は適用されない。この関数は、実数上で計算し、次のように仮定すると逆関数となる。 x > 0 {\displaystyle x>0}

x = u − v {\displaystyle x={\sqrt {u-v}}}
y = 2 v − u , {\displaystyle y=2v-u,}

しかし、このxの式は多項式ではありません。複素数を扱うと、平方根は多値になります。

J F ≠ 0という条件は、多変数微積分における逆関数定理に関連しています。実際、滑らかな関数（特に多項式）の場合、J F がゼロでないすべての点において、Fの滑らかな局所逆関数が存在します。例えば、写像 x → x  +  x 3には滑らかな大域逆関数が存在しますが、その逆関数は多項式ではありません。

結果

スチュアート・スイシェン・ワンは、2 次多項式のヤコビ予想を証明しました。[6] ハイマン・バス、エドウィン・コネル、およびデイヴィッド・ライトは、一般的なケースは、多項式が 3 次、またはさらに具体的には 3 次同次型、つまり形式F  = ( X 1  +  H 1、...、  X n  +  H n ) である特殊なケースから従うことを示しました。ここで各H iは 0 または同次 3 次です。 [7]ルドウィク・ドゥルズコフスキは、さらに、マップが 3 次線形型、つまり非ゼロのH iが同次線形多項式の 3 乗であると仮定できることを示しました。[8]ドゥルズコフスキの簡約化は、最も有望な方法の 1 つと思われます。[誰によると? ]これらの簡約化は追加の変数を導入するため、固定Nには利用できません。

エドウィン・コネルとルー・ファン・デン・ドリーズは、ヤコビ予想が偽ならば、整数係数とヤコビ行列式1を持つ反例が存在することを証明した。 [9]結果として、ヤコビ予想は、標数0のすべての体に対して成立するか、あるいは全く成立しないかのいずれかである。固定次元Nに対しては、少なくとも1つの標数0の代数閉体に対して成立する場合に成立する。

k [ X ] を多項式環 k [ X 1 , ..., X n ]とし、 k [ F ] をf 1 , ..., f nによって生成されるk部分代数とする。与えられたFに対して、ヤコビアン予想が真となるのは、 k [ X ] = k [ F ]が成立する場合のみである。Keller (1939) は双有理的ケース、すなわち 2 つの体k ( X ) とk ( F ) が等しい場合を証明した。k ( X ) が k ( F ) のガロア拡大である場合は、複素写像についてはAndrew Campbell [10]によって証明され、一般には Michael Razar [11]によって証明され、独立に David Wright [12]によっても証明されている。Tzuong -Tsieng Moh は、2 変数の次数 100 以下の多項式についてこの予想を検証した。[13] [14]

ミヒール・デ・ボントとアルノ・ファン・デン・エッセン[15] [16]およびルドウィク・ドゥルズコフスキ[17]は独立に、対称ヤコビ行列を持つ3次同次型の複素写像に対してヤコビ予想を証明すれば十分であることを示し、さらに、特性0の任意の体上で対称ヤコビ行列を持つ3次線形型の写像に対してもこの予想が成り立つことを示した。

強実ヤコビ予想とは、どこにも消滅しないヤコビ行列式を持つ実多項式写像には滑らかな大域逆写像が存在するというものでした。これは、そのような写像が位相的に真写像であるかどうかを問うことと等価です。真写像である場合、それは単連結 多様体の被覆写像であり、したがって可逆です。セルゲイ・ピンチュークは、総次数35以上の変数反例を2つ構築しました。[18]

ワイル代数のすべての自己準同型は自己同型であるというディクスミア予想からヤコビ予想が導かれることはよく知られている。 [7]逆に、2N変数のヤコビ予想からN次元のディクスミア予想が導かれることは土本喜文[19]によって示され、またアレクセイ・ベロフ＝カネルとマキシム・コンツェビッチ[20]によっても独立に示された。最後の含意の自己完結的で純粋に代数的な証明はコシヴィ・アジャマグボとアルノ・ファン・デン・エッセン[21]によっても与えられており、彼らは同じ論文で、これら 2 つの予想が、N次複素ポアソン代数のすべての自己準同型は自己同型であるというポアソン予想と同値であることも証明している。

参照

参考文献

  1. ^ Keller、Ott-Heinrich (1939)、「Ganze Cremona-Transformationen」、Monatshefte für Mathematik und Physik、47 (1): 299–306、doi : 10.1007/BF01695502、ISSN  0026-9255
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  • Tzuong-Tsieng Mohの予想に関するウェブページ
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