□ M 1 M 2 M 3 M 4は長方形である。[1]
幾何学において、日本の定理は、円周四辺形内の特定の三角形の内接円の中心が長方形の頂点となることを述べています。この定理は、1880年に日本の山形県にある寺院の算額に記されたものです。[2]
任意の環状四辺形を対角線で三角形に分割すると、4つの重なり合う三角形（各対角線から2つの三角形が作られる）が得られる。これらの三角形の内接円の中心は長方形を形成する。
具体的には、□ ABCD を任意の円周四辺形とし、M 1、M 2、M 3、M 4を三角形△ ABD、△ ABC、△ BCD、△ ACDの内心とします。すると、 M 1、M 2、M 3、M 4によって形成される四辺形は長方形となります。証明はボゴモーリニー[2]とレイエス[1]によって示されています。
この定理は、円周多角形に対する日本の定理を証明するために拡張することができる。この定理によれば、三角形に分割された円周多角形の内接円の半径の和は、三角形の分割方法に依存しない。四辺形に対するこの定理の特別なケースは、上記の定理の2組の向かい合う内接円の半径の和が等しいことを述べている。四辺形の場合を証明するには、四辺形の対角線に平行な辺を持つ、長方形の角に接する平行四辺形を作図するだけでよい。この作図は平行四辺形が菱形であることを示しており、これは各対角線に接する内接円の半径の和が等しいことを示すことと同義である。この関連する結果は、同じく1800年の山形の算額に由来する。[2]
四辺形の場合は、一般的なケースが直ちに証明されます。任意の循環多角形の 2 つの三角形分割は、1 つの対角線を別の対角線に変更する一連の反転によって接続でき、四辺形内の 2 つの内接円を、半径の合計が等しい他の 2 つの内接円に置き換えることができるためです。
参照
参考文献
- ^ ab Reyes, Wilfred (2002). 「テボーの定理の応用」(PDF) . Forum Geometricorum . 2 : 183– 185. MR 1990908. オリジナル(PDF)から2024年1月6日にアーカイブ。 2016年3月24日閲覧。
- ^ abc Bogomolny, Alexander (2018). 「周期的四辺形の内心」Cut-the-Knot .
さらに読む
- マンホ・アフージャ、植垣渉、松下佳代：「日本の定理を求めて」。掲載場所: Missouri Journal of Mathematical Sciences、vol 18、no. 2006 年 5 月 2 日 (プロジェクト Euclid でオンライン)
- 植垣渉：『日本定理の起源と歴史』部報論文、三重大学学術電子コレクション、2001-03-01
- 笹部貞市郎（1976年）。 『几何学辞典: 问题解法』。アーカイブ.org。問題587。
外部リンク
- 日本の定理、アニメーションによるインタラクティブな証明
- ダイナミックジオメトリスケッチ、循環四角形内心長方形
