X線変換

数学において、X 線変換（または光線変換^{[ 1 ]}あるいはジョン変換）は、1938 年にフリッツ・ジョンによって導入された積分変換^{[ 2 ]}であり、現代の積分幾何学の基礎の 1 つです。これはラドン変換と非常に密接な関係があり、2 次元ではラドン変換と一致します。より高次元では、関数の X 線変換は、ラドン変換のように超平面上で積分するのではなく、直線上で積分することによって定義されます。X 線変換は、関数 ƒ の X 線変換が、密度が関数ƒで表される不均質媒体の断層撮影スキャンの減衰データを表すため、X 線トモグラフィー（CT スキャンで使用）にちなんで名付けられました。したがって、X 線変換の逆変換は、既知の減衰データから 未知の密度ƒを再構築できるため、実用上重要です。

詳細には、もしƒ がユークリッド空間R ⁿ上のコンパクトに支えられた連続関数であるならば、 ƒのX線変換はR ⁿのすべての直線の集合上で定義される関数 Xƒ である。

${\displaystyle Xf(L)=\int _{L}f=\int _{\mathbf {R} }f(x_{0}+t\theta )dt}$

ここで、x ₀は直線上の始点であり、θは直線Lの方向を与えるR ⁿ上の単位ベクトルである。後者の積分は有向積分とはみなされない。これはユークリッド直線L上の1次元ルベーグ測度に関する積分である。

X 線変換は、ジョン方程式と呼ばれる超双曲波動方程式を満たします。

ガウス関数または通常の超幾何関数は、 X線変換として表すことができます。( Gelfand、Gindikin、Graev 2003、2.1.2 )

参考文献

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• ヘルガソン、シグルドゥル（2008）「対称空間の幾何学的解析」、数学概論およびモノグラフ、第39巻（第2版）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4530-1、MR  2463854
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