ジューコフスキー変換

ジュコフスキー変換の例。上の円は下のジュコフスキー翼型に変換されます。

応用数学において、ジュコフスキー変換（Joukovsky、Joukowski、Zhukovskyと表記されることもある）は、翼型設計の原理を理解するために歴史的に用いられてきた等角写像である。 1910年に発表したニコライ・ジュコフスキーにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ]}

変換とその右逆変換は

${\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},\qquad \zeta ={\tfrac {1}{2}}z\pm {\sqrt {{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}z{\bigr )}^{2}-1}}={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}z\mp {\sqrt {{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}z{\bigr )}^{2}-1}}},}$

ここで、は新しい空間における複素変数であり、は元の空間における複素変数です。 は2対1なので、右逆は大域的な左逆ではありません。しかし、局所的な左逆は常に右逆の枝の1つです。 ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$ ${\displaystyle \zeta \mapsto z}$

航空力学において、この変換は、ジューコフスキー翼型と呼ばれる翼型のクラスの周りの2次元ポテンシャル流を解くために使用されます。ジューコフスキー翼型は、複素平面（-平面）上の円にジューコフスキー変換を適用することで生成されます。円の中心座標は変数であり、それを変えることで得られる翼型の形状が変わります。円は、（導関数がゼロとなる）点を囲み、点と交差します。これは、円の半径を変えることで、 許容される任意の中心位置で実現できます。${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta =-1}$ ${\displaystyle \zeta =1.}$ ${\displaystyle \mu_{x}+i\mu_{y}}$

ジューコフスキー翼型は後縁にカスプを持つ。密接に関連する等角写像であるカルマン・トレフツ変換は、後縁角を制御することで、より広いクラスのカルマン・トレフツ翼型を生成する。後縁角をゼロに指定すると、カルマン・トレフツ変換はジューコフスキー変換に簡約される。

一般ジューコフスキー変換

任意の複素数のジューコフスキー変換は次のようになります。 ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

したがって、実数部（）と虚数部（）は次のようになります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\[2pt]y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

ジュコウスキー翼のサンプル

単位円上のすべての複素数の変換は特別なケースです。

$${\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,}$$

これにより

$${\displaystyle \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}$$

したがって、実数部は となり、虚数部は となります。 ${\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }$ ${\textstyle y=\eta (1-1)=0}$

したがって、複素単位円は、-2 から +2 までの実数直線上の平らな板にマッピングされます。

他の円からの変換により、さまざまな翼型の形状が作成されます。

ジュコウスキー翼の速度場と循環

円筒周りのポテンシャル流の解は解析的でよく知られています。それは、一様流、二重流、そして渦の重ね合わせです。

平面上の円周上の複素共役速度は ${\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}$ ${\displaystyle \zeta }$ $${\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}$$

どこ

• ${\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}$ 円の中心の複素座標である。
• ${\displaystyle V_{\infty }}$ 流体の自由流速度であり、

${\displaystyle \alpha }$ は自由流に対する翼の 迎え角であり、

• ${\displaystyle R}$ は円の半径であり、次のように計算される。${\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \Gamma }$ は循環であり、クッタ条件を用いて求められ、この場合は次のように簡約される。$${\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}$$

面内の翼周りの複素速度は、等角写像の規則とジュウコフスキー変換を用いると、 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}$$

ここで、 はそれぞれ 方向と方向の速度成分です（とは実数値です）。この速度から、圧力係数や単位スパンあたりの 揚力など、流れの他の重要な特性を計算することができます。${\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

カルマン・トレフツ変換

カルマン・トレフツ変換の例。上図の -平面上の円は、下図の-平面上のカルマン・トレフツ翼型に変換されます。使用されるパラメータは、およびです。-平面上の翼型は、弦長を用いて正規化されていることに注意してください。${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu _{x}=-0.08,}$ ${\displaystyle \mu _{y}=+0.08}$ ${\displaystyle n=1.94.}$ ${\displaystyle z}$

カルマン・トレフツ変換は、ジュウコフスキー変換と密接に関連する等角写像である。ジュウコフスキー翼型はカスプ後縁を有するが、カルマン・トレフツ翼型（これは、ジュウコフスキー翼型の定義に類似し、-平面上の円を物理的な-平面に変換した結果である）は、後縁において翼型の上部表面と下部表面の間の角度がゼロではない。したがって、カルマン・トレフツ変換には、後縁角度という追加のパラメータが必要となる。この変換は^{[ 2 ] [ 3 ]である。}${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha .}$

${\displaystyle z=nb{\frac {(\zeta +b)^{n}+(\zeta -b)^{n}}{(\zeta +b)^{n}-(\zeta -b)^{n}}},}$

あ

ここで、は、の位置を決定する実定数であり、 2よりわずかに小さい。後縁における上部翼面と下部翼面の接線間の角度は、次のように関係している^{[ 2 ]。}${\displaystyle b}$ ${\displaystyle dz/d\zeta =0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}$

速度場を計算するために必要な 導関数は、${\displaystyle dz/d\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.}$

背景

まず、上記のように、ジュコフスキー変換に 2 を加算および減算します。

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}$

左辺と右辺を割ると

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}$

右辺には、ポテンシャルフロー理論の単純な2乗則が（係数として）含まれており、これは後縁付近で適用されます。等角写像理論によれば、この二次写像は、-空間の半平面を半無限直線の周りのポテンシャルフローに変換することが知られています。さらに、2未満のべき乗の値は、有限角度の周りのフローをもたらします。したがって、ジューコフスキー変換のべき乗を2よりわずかに小さい値に変更することで、結果はカスプではなく有限角度になります。前の式で2をに置き換えると、 ^{[ 2 ]が得られます。}${\displaystyle \zeta =+1.}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}$

これはカルマン・トレフツ変換である。を解くと、式Aの形になる。 ${\displaystyle z}$

対称的なジュコウスキー翼

1943年、薛神賈は、半径の円を、パラメータと傾斜角に依存する対称翼型に変換する方法を発表しました。^{[ 4 ]}${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}$

パラメータは、ゼロの場合には平板、無限大の場合には円板となるため、翼型の厚さに相当します。さらに、円筒の半径も関係します。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle a=1+\epsilon }$

注記

1. ネブラスカ州ジューコフスキー(1910)。 「ユーバー・ダイ・コントゥレン・デア・トラグフレーヒェン・デア・ドラッヘンフリーガー」。Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffault (ドイツ語)。1 : 281–284 および (1912) 3 : 81–86。
2. ミルン・トムソン, ルイス・M. (1973).理論空気力学（第4版）. ドーバー出版. pp.  128–131 . ISBN 0-486-61980-X。
3. Blom, JJH (1981). 「カルマン・トレフツプロファイルのいくつかの特性量」（文書）NASA技術覚書 TM-77013.
4. Tsien, Hsue-shen (1943). 「せん断流における対称ジューコフスキー翼」 .応用数学季刊. 1 (2): 130– 248. doi : 10.1090/qam/8537 .

参考文献

• アンダーソン、ジョン（1991年）『空気力学の基礎』（第2版）トロント：マグロウヒル社、pp.  195– 208. ISBN 0-07-001679-8。
• Zingg, DW (1989). 「低マッハ数オイラー計算」 NASA TM -102205.

外部リンク

• ジュコウスキー変換NASAアプレット
• Joukowsky Transform インタラクティブ Web アプリ