ユングの定理

幾何学において、ユングの定理は、任意のユークリッド空間における点の集合の直径と、その集合を包む最小球の半径との間の不等式です。この不等式は、1901年にこの不等式を初めて研究したハインリヒ・ユングにちなんで名付けられました。最小円問題を明示的に解くアルゴリズムも存在します。

声明

コンパクトなセットを検討する

K⊂Rn{\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}

そして

d＝最大p、q∈K‖p−q‖2{\displaystyle d=\max_{p,q\,\in\,K}\|pq\|_{2}}

Kの直径、つまり任意の2点間の最大ユークリッド距離とする。 ユングの定理は、半径が

r≤dn2（n+1）{\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}

Kを含む。等式の境界条件は、正則n単体によって達成される。

平面におけるユングの定理

ユングの定理の最も一般的なケースは平面、つまりn  = 2のときである。この場合、定理は、半径がを満たすすべての点を 囲む円が存在することを述べている。

r≤d3、{\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}

そしてこの境界は可能な限り厳密である。なぜならKが正三角形（またはその3つの頂点）のとき、r＝d3。{\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}

一般計量空間

任意の計量空間における任意の有界集合 に対して、 が成り立つ。最初の不等式は、球の中心と2つの直径の点に関する三角不等式から導かれ、2番目の不等式は、 の任意の点を中心とする半径 の球が のすべてを含むことから導かれる。これらの不等式は両方とも厳密である。 S{\displaystyle S}d/2≤r≤d{\displaystyle d/2\leq r\leq d}d{\displaystyle d}S{\displaystyle S}S{\displaystyle S}

  • 一様距離空間、つまり、すべての距離が等しい空間では、 。r＝d{\displaystyle r=d}
  • スペクトルのもう一方の端、平面上のマンハッタン距離などの入射的な距離空間では、の点を中心とする半径 の任意の 2 つの閉じた球には、空でない交点があるため、このような球はすべて共通の交点を持ち、この交点を中心とする半径の球には のすべてが含まれます。r＝d/2{\displaystyle r=d/2}d/2{\displaystyle d/2}S{\displaystyle S}d/2{\displaystyle d/2}S{\displaystyle S}

さまざまな非ユークリッド幾何学に対するユングの定理のバージョンも知られています (例: Dekster 1995、1997 を参照)。

参考文献

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