陪審員の安定性基準

信号処理および制御理論において、ジュリーの安定性判定基準は、離散時間線形システムの安定性を、その特性多項式の係数の解析によって判定する方法である 。これは、ラウス・ハーウィッツの安定性判定基準の離散時間版である。ジュリーの安定性判定基準では、システムの極が原点を中心とする単位円の内側にあることが必要であるのに対し、ラウス・ハーウィッツの安定性判定基準では、極が複素平面の左半分にあることが必要である。ジュリーの安定性判定基準は、エリアフ・イブラハム・ジュリーにちなんで名付けられている。

方法

システムの特性多項式が次のように与えられるとすると、

$${\displaystyle f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\dots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}}$$

表は次のように構築されます。^[1]

$${\displaystyle {\begin{array}{lcccccc}{\underline {\text{row}}}&\ {\underline {z^{n}}}\ &\ {\underline {z^{n-1}}}\ &\ {\underline {z^{n-2}}}\ &\ \cdots \ &\ {\underline {z^{1}}}\ &\ {\underline {z^{0}}}\ \\[8pt]1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\[4pt]2&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\[10pt]3&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-2}&b_{n-1}\\[4pt]4&b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &b_{1}&b_{0}\\[10pt]5&c_{0}&c_{1}&\cdots &c_{n-2}&\\[4pt]6&c_{n-2}&c_{n-3}&\cdots &c_{0}&&\\[10pt]\ \!\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\\[10pt]2n-5\quad &p_{0}&p_{1}&p_{2}&p_{3}&&\\[4pt]2n-4&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&&\\[10pt]2n-3&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&\end{配列}}}$$

つまり、最初の行は多項式の係数を順番に並べたもので、2 番目の行は最初の行を逆順に並べたもので共役になっています。

表の 3 行目は、1 行目から 2 行目を減算して計算され、4 行目は最初のn要素を逆にした 3 行目です (最後の要素は 0 です)。 ${\displaystyle {\tfrac {a_{n}}{a_{0}}}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}a_{0}&a_{1}&\dots &a_{n-1}&\quad a_{n}\quad \\[4pt]a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\[4pt]a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&\dots &a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&0\\[4pt]a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&\dots &a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}&0\end{array}}}$$

テーブルの拡張は、ゼロ以外の要素が 1 つだけ含まれる行に到達するまで、このように続行されます。

最初の2行では がであることに注目してください。3行目と4行目では係数が変わります（つまり）。これは、次数が1つ少ない新しい多項式と見なすことができます。 ${\displaystyle {\tfrac {a_{n}}{a_{0}}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b_{n-1}}{b_{0}}}}$

安定性試験

...の負の値すべてに対して、多項式は単位円の外側に1つの根を持つ。これは、安定性のチェック時に最初の負の値が見つかった時点でこの手法を停止できることを意味する。 ${\displaystyle {a_{0}}>0}$ ${\displaystyle a_{0},b_{0},c_{0}}$

サンプル実装

この方法は、コンピュータ上で動的配列を用いて非常に簡単に実装できます。また、すべての根（複素数と実数）の絶対値が単位円内に収まるかどうかも判定します。ベクトルvには、元の多項式の実数係数が最高次から最低次までの順序で含まれています。

        /* vvd は陪審員配列です */ 
vvd . push_back ( v ); // 最初の行を格納しますreverse ( v . begin (), v . end ()); vvd . push_back ( v ); // 2 番目の行を格納します         
        
         

        for ( i = 2 ;; i += 2 ) { v . clear (); double mult = vvd [ i -2 ][ vvd [ i -2 ]. size () -1 ] / vvd [ i -2 ][ 0 ]; // これは記事で言及されている an/a0 です。 
        
            
                

            for ( j = 0 ; j < vvd [ i -2 ]. size () -1 ; j ++ ) // 最後の 2 行を取得して次の行を計算しますv . push_back ( vvd [ i -2 ][ j ] - vvd [ i -1 ][ j ] * mult );    
                       

            vvd.push_back ( v ) ; reverse ( v.begin ( ), v.end ( ) ) ; //次の行を反転しますvvd.push_back ( v ) ; if ( v.size ( ) == 1 ) break ; }
              
            
                
         

         // チェックは
for ( i = 0 ; i < vvd . size (); i += 2 ) { if ( vvd [ i ][ 0 ] <= 0 ) break ; }を使用して行われます。            
         
                
         

         if ( i == vvd . size ()) "すべての根は単位円の内側にある " else "いいえ"   
              
         
              

参照

• リエナール・チップール基準、ラウス・ハーウィッツから導出された別の安定性基準（連続時間システム用）

参考文献

1. 離散時間制御システム（第2版）、185ページ。Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ, USA ©1995 ISBN 0-13-034281-5

詳細については、以下の参考資料を参照してください。

• 縮小されたシュア・コーン基準に関する注記
• 制御システムに関するウィキブック - 陪審員テスト

高度なリソースについては、以下をご覧ください。

• 2008年8月2日アーカイブ、Wayback Machine
• Benidir, M. (1996). 「単位円に関する一般多項式の根分布について」.信号処理. 53 (1): 75– 82. Bibcode :1996SigPr..53...75B. doi :10.1016/0165-1684(96)00077-1.
• http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz

実装の場合:

• http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html (TI-83+/84+ グラフ電卓)