陪審定理

陪審定理とは、ある仮定の下で、大規模な集団による多数決によって得られた決定は、一人の専門家による決定よりも正しい可能性が高いことを証明する数学的定理である。これは、群衆の知恵という考え方、陪審裁判による事実問題の決定、そして民主主義全般を正式に裏付ける論拠となっている。^[1]

陪審定理の中で最も有名なものは、コンドルセの陪審定理です。この定理は、すべての投票者が正しい選択肢に投票する独立した確率を持ち、これらの確率は1/2より大きく、すべての投票者にとって同じであると仮定しています。これらの仮定の下では、多数決が正しい確率は、グループが大きいほど確実に大きくなります。また、グループのサイズが無限大に近づくと、多数決が正しい確率は1に近づきます。

これらの仮定の一部またはすべてを緩和する陪審定理は他にも多数存在します。

設定

すべての陪審員定理の前提は、投票者には知られていない客観的な真実が存在するというものです。ほとんどの定理は、例えば、ある被告が有罪か無罪か、ある株価が上昇するか下落するかなど、二項対立の問題（2つの状態が考えられる問題）に焦点を当てています。投票者（または陪審員）がいて、彼らの目標は真実を明らかにすることです。各投票者は、 2つの選択肢のうちどちらが正しいかについて意見を持っています。各投票者の意見は、正しい（つまり、真の状態と等しい）か、間違っている（つまり、真の状態と異なる）かのいずれかです。これは、各投票者の意見が主観的な好みを表し、したがって常にその投票者にとって「正しい」ものである他の投票設定とは対照的です。投票者の意見はランダム変数と見なすことができます。つまり、各投票者にとって、その意見が真の状態と等しい確率が正に存在します。 ${\displaystyle n}$

集団の決定は多数決によって決定されます。例えば、投票者の過半数が「有罪」と答えた場合は「有罪」、過半数が「無罪」と答えた場合は「無罪」となります。同点を避けるため、投票者の数は奇数と仮定されることが多いです。一方、投票者が偶数の場合は、公平なコイントスによって同点が決定されます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

陪審定理は、正しさの確率、すなわち多数決が客観的真実と一致する確率に着目する。典型的な陪審定理は、この確率に関して2種類の主張を行っている。 ^[1]

1. 信頼性の向上: グループが大きくなるほど、正確性の確率も大きくなります。
2. 群衆の無謬性: グループのサイズが無限大になると、正しさの確率は 1 になります。

主張 1 は陪審定理の非漸近部分と呼ばれることが多く、主張 2 は陪審定理の 漸近部分と呼ばれることが多いです。

もちろん、これらの主張は常に正しいとは限りませんが、投票者に関する特定の仮定の下では正しいと言えます。陪審員定理によって仮定は異なります。

独立性、能力、統一性

コンドルセの陪審定理では、次の 3 つの仮定が立てられています。

1. 無条件独立性：有権者は独立して意思決定を行う。言い換えれば、彼らの意見は独立した確率変数である。
2. 無条件の有能性: 単一の投票者の意見が客観的な真実と一致する確率が 1/2 より大きい (つまり、投票者はランダムなコイントスよりも賢い)。
3. 均一性: すべての投票者が正解する確率は同じです。

コンドルセの陪審定理によれば、これら 3 つの仮定は信頼性の増大と群衆の無謬性を意味するとされています。

相関投票：独立性仮定の弱体化

異なる有権者の意見はしばしば相関関係にあるため、「無条件の独立性」は成立しない可能性があります。この場合、「信頼性の増大」という主張は成り立たない可能性があります。

例

陪審員が正しい選択肢に投票する確率を 、任意の2つの正しい投票間の（2次）相関係数を とする。投票の結合確率分布のバハドゥール表現^[2]におけるすべての高次相関係数が0で、 が許容ペアである場合、陪審員が単純多数決で集団的に正しい決定に達する確率は次のように与えられる。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (p,c)\in {\mathcal {B}}_{n}}$

${\displaystyle P(n,p,c)=I_{p}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {n+1}{2}}\right)+0.5c(n-1)(0.5-p){\frac {\partial I_{p}({\frac {n+1}{2}},{\frac {n+1}{2}})}{\partial p}},}$

ここで、は正規化された不完全ベータ関数です。 ${\displaystyle I_{p}}$

例： 3人の陪審員 で、個々の能力が で、二次相関が であるとします。この場合、 となります。陪審員 の能力は、陪審員が1人の場合の能力よりも低く、 となります。さらに、陪審員を2人増やすと、陪審員の能力はさらに低下し、 となります。と は許容されるパラメータのペアであることに注意してください。 と の場合、許容される二次相関係数の最大値は となります。 ${\displaystyle (n=3)}$ ${\displaystyle p=0.55}$ ${\displaystyle c=0.4}$ ${\displaystyle P(3,0.55,0.4)=0.54505}$ ${\displaystyle 0.55}$ ${\displaystyle (n=5)}$ ${\displaystyle P(5,0.55,0.4)=0.5196194}$ ${\displaystyle p=0.55}$ ${\displaystyle c=0.4}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle p=0.55}$ ${\displaystyle \approx 0.43}$

上記の例は、個人の能力は低いが相関関係は高い場合を示しています。

• 単純多数決による集団的権限は単独陪審員の権限を下回る可能性がある。
• 陪審員の規模を拡大すると陪審員全体の能力が低下する可能性がある。

上記の結果はカニオフスキーとザイグラエフによるものです。彼らはまた、相関投票を持つ均質な陪審員の最適な陪審員設計についても議論しています。^[3]

さまざまな方法で独立性の仮定を弱める陪審定理がいくつかあります。

真実に敏感な独立性と能力

二者択一問題では、多くの場合、一方の選択肢が他方の選択肢よりも容易に検出できる。例えば、被告人が有罪であること（有罪の明確な証拠があるため）を検出する方が、無罪であることを検出するよりも容易な場合がある。この場合、ある投票者の意見が正しい確率は、2つの異なる数値、すなわち選択肢1が正しい場合の確率と、選択肢2が正しい場合の確率で表されます。これはまた、異なる投票者の意見が相関していることを示唆している。このことから、上記の仮定は以下のように緩和される。

1. 条件付き独立性: 2 つのオプションのそれぞれについて、そのオプションが正しいと仮定した場合の投票者の意見は、独立したランダム変数です。
2. 条件付き有能性: 2 つのオプションのそれぞれについて、そのオプションが正しいと仮定した場合、単一の投票者の意見が正しい確率は 1/2 より大きくなります。
3. 条件付き均一性: 2 つのオプションのそれぞれについて、そのオプションが真である場合、すべての投票者が正解する確率は同じです。

信頼性の増大と群衆の絶対確実性は、これらのより弱い仮定の下でも維持され続ける。^[1]

条件付き有罪判決に対する批判の一つは、それが判断質問の定式化方法に依存するという点である。例えば、被告人が有罪か無罪かを問う代わりに、被告人がちょうど10件の罪状で有罪か（選択肢A）、あるいは別の数の罪状（0～9件、あるいは11件以上）で有罪かを問うことができる。これにより条件が変わり、条件付き確率も変わる。さらに、状態が非常に限定的である場合、正しく投票する確率は1/2を下回る可能性があり、条件付き有罪判決は成立しない可能性がある。^[4]

オピニオンリーダーの影響

有権者間の相関関係のもう一つの原因は、オピニオンリーダーの存在である。各有権者が独立した意思決定を行うと仮定するが、その後、各有権者は一定の確率で、オピニオンリーダーの意見に一致するように意見を変える。Boland ^[5]およびBoland、Proschan、Tong ^[6]による陪審定理によれば、オピニオンリーダーに従う確率が1.5 p（pは全有権者の能力レベル）未満である場合（そしてその場合のみ）、群衆の無謬性が成立する。

問題に敏感な自立性と能力

真の選択肢への依存に加えて、有権者の意見が相関する理由は他にも数多くあります。例えば、

• 有権者間の審議
• 同調圧力;
• 偽の証拠（例：有罪の被告人が無実のふりをするのが得意）
• 外部条件（例：悪天候が判断に影響を与える）。
• その他の投票の共通理由

条件付き独立性の仮定を弱め、投票の共通原因（状態だけでなく）すべてに条件付けすることが可能です。言い換えれば、投票は特定の意思決定問題に条件付けされた独立性を持つことになります。しかし、特定の問題においては、条件付き有能性の仮定が妥当でない場合があります。例えば、誤った証拠に基づく特定の問題では、ほとんどの投票者が誤った意見を持つ可能性が高いでしょう。したがって、条件付き独立性と条件付き有能性の2つの仮定は、（同じ条件付けの下では）同時に正当化することはできません。^[7]

考えられる解決策の一つは、条件付き有能性を以下のように弱めることである。各投票者と各問題xについて、その特定の問題において投票者の意見が正しい確率p ( x )が存在する。xは確率変数であるため、p ( x ) も確率変数である。条件付き有能性は、確率 1 で p ( x ) > 1/2となることを要求する。弱められた仮定は以下の通りである。

• 有能への傾向: 各有権者および各r >0について、 p ( x ) = 1/2+ rとなる確率は、p ( x ) = 1/2- rとなる確率以上である。

ディートリッヒとシュピーカーマンによる陪審定理^[8]によれば、条件付き独立性、有能性への傾向、条件付き均一性は、信頼性の増大を意味する。ただし、群衆の無謬性は含意されていないことに注意されたい。実際、条件付き有能性が成立しない場合、かつその場合に限り、正しさの確率は1を下回る値に近づく。

有界相関

ピヴァートの陪審定理^[9]は、人口が大きくなるにつれて投票者間の平均共分散が小さくなる場合、群衆無謬性が成立することを示しています（ある投票ルールについて）。投票の相関度を考慮した陪審定理は他にも存在します。^{[10] [11]}

その他の解決策

有権者の相関関係に対処する他の方法としては、因果ネットワーク、依存構造、互換性などが挙げられる。^{[1] : 2.2}

多様な能力：均一性仮定の弱体化

投票者によって能力レベルが異なる場合が多いため、均一性仮定は成立しません。この場合、信頼性の増大と群衆の無謬性はどちらも成立しない可能性があります。これは、新規投票者の能力が既存投票者よりもはるかに低く、新規投票者の追加によってグループの正解確率が低下する場合に発生する可能性があります。場合によっては、正解確率は1ではなく1/2（ランダムな決定）に収束する可能性があります。^[12]

より厳しい能力要件

能力の仮定を強化すれば、均一性は排除できます。能力の仮定を強化する方法はいくつかあります。

• 強い有能性：各投票者iについて、正解確率p _iは少なくとも 1/2+ eである。ただし、e >0 はすべての投票者に対して一定である。言い換えれば、有能性は公平なコイントスから制限されている。Paroush ^[12]による陪審定理は、強い有能性と条件付き独立性を併せ持つと、群衆の無謬性（信頼性の増大ではない）を意味することを示している。
• 平均的有能度：投票者の個々の有能度レベルの平均（すなわち、個々の正しい決定を下す確率の平均）は、半分よりわずかに大きいか、1/2を超える値に収束する。グロフマン、オーウェン、フェルド^[13] 、およびベレンドとパロウシュ^[14]による陪審定理は、平均的有能度と条件付き独立性が組み合わさることで、群衆の無謬性（信頼性の増大ではない）が示唆されることを示している。

投票者のランダム選択

投票者のアイデンティティが固定されていると仮定する代わりに、異なる能力レベルを持つ潜在的な投票者の大きなプールが存在し、実際の投票者はこのプールからランダムに選択される（抽選のように）と仮定することができます。

ベン・ヤシャールとパロウシュによる陪審定理^[15]は、ある条件下では、陪審員団全体、あるいは無作為に選ばれた陪審員団の一部が正答となる確率は、無作為に選ばれた陪審員団一人が正答となる確率よりも大きいことを示しています。ベレンドとサピアによるより一般的な陪審定理^[16]は、この設定において信頼性増大が成立することを証明しています。つまり、無作為に選ばれた陪審員団の正答となる確率は、陪審員団の規模が大きくなるにつれて増大するということです。この定理は、ある条件下では、相関投票であっても成立します。^[17]

^{オーウェン、グロフマン、フェルド[18]}による陪審定理は、能力レベルがランダムな状況を分析し、個人の能力の分布がどのような場合に正解確率を最大化または最小化するかを示しています。

加重多数決

投票者の能力レベルがわかっている場合、単純な多数決は必ずしも最良の決定規則ではない可能性がある。最適な決定規則、つまりグループの正当性確率を最大化する規則を特定する研究は数多くある。NitzanとParoush ^[19]は、無条件独立性の下では、最適な決定規則は重み付き多数決であり、正当性確率p _iを持つ各投票者の重みはlog( p _i /(1- p _i ))であり、支持者の重みの合計がある閾値を超える場合に代替案が選択されるということを示している。GrofmanとShapley ^[20]は、投票者間の相互依存性が最適な決定規則に与える影響を分析している。Ben-YasharとNitzan ^[21]は、より一般的な結果を証明している。

ディートリッヒ^[22]はこの結果を、2つの選択肢の「正しさ」の事前確率を必要としない設定に一般化している。唯一必要な仮定は認識論的単調性であり、これは、あるプロファイルのもとで選択肢xが選択され、その後プロファイルが変化してxの確率が高くなった場合、xが依然として選択されるというものである。ディートリッヒは、認識論的単調性から、最適な決定ルールは閾値付きの加重多数決となることが示されている。同論文で、彼はこの最適な決定ルールを、入力が選択肢のいずれかへの投票である必要がない設定に一般化している。これは例えば、主観的な信念の度合いとすることができる。さらに、能力パラメータが既知である必要はない。例えば、入力が主観的な信念x ₁ ,..., x _nである場合、最適な決定ルールはlog( x _i /(1- x _i ))を合計し、その合計がある閾値を超えているかどうかをチェックする。認識論的単調性だけでは閾値自体を計算するには不十分である。閾値は、期待効用最大化と事前確率を仮定して計算できます。

加重多数決ルールの一般的な問題は、各投票者の能力レベルを知る必要があることですが、これを客観的に計算することは通常困難です。Baharad、Goldberger、Koppel、Nitzan ^[23]は、統計的機械学習を用いてこの問題を解決するアルゴリズムを提示しています。このアルゴリズムは、過去の投票のリストのみを入力として必要とし、これらの投票が正しかったかどうかを知る必要はありません。リストが十分に大きい場合、個々の投票者の能力レベルが1/2に近い場合でも、その正しさの確率は1に収束します。

2つ以上の選択肢

意思決定問題には、多くの場合、3つ以上の選択肢が絡みます。この重大な制約は、コンドルセによって実際に認識されていました（コンドルセのパラドックスを参照）。また、一般的に、3つ以上の結果の間で個々の意思決定を調和させることは非常に困難です（アローの定理を参照）。

この制限は、立法改正プロセスで一般的に実現されているように、複数の選択肢に対する一連の投票によって克服される可能性もあります。（ただし、アローの定理によれば、これは選択肢の投票順序に「経路依存性」を生み出します。例えば、どの修正案が最初に提案されるかによって、最終的にどの修正案が可決されるか、あるいは修正の有無にかかわらず、法律が可決されるかどうかが変わる可能性があります。）

3 つ以上のオプションがある場合、条件付きコンピテンスは次のように一般化できます。

• 複数選択肢の条件付き有能性: 任意の 2 つの選択肢xとyについて、xが正しく、y が正しくない場合、どの投票者もyよりもxに投票する可能性が高くなります。

リストとグッドインによる陪審定理は、多項式条件付き有能性と条件付き独立性が組み合わさることで、群衆の無謬性を意味することを示しています。^[24]ディートリッヒとシュピーケルマンは、これらが信頼性の増大も意味すると推測しています。^[1]関連する陪審定理として、エヴェラエール、コニエツニー、マルキスによるものがあります。^[25]

選択肢が2つ以上ある場合、単純多数決の代わりに使用できる様々な投票ルールがあります。これらのルールの統計的および実利的特性は、例えばPivatoによって分析されています。 ^{[26] [27]}

間接多数決制度

コンドルセの定理は、すべての票が最終結果に直接反映される直接多数決システムを考慮しています。多くの国では間接多数決システムを採用しており、投票者はグループに分けられます。各グループの投票者は、内部多数決で結果を決定し、その後、グループ全体で多数決で最終結果を決定します。たとえば、^[5]では投票者が15人いるとします。直接多数決システムでは、決定は8票以上で承認されます。ここで、投票者が5人ずつの3つのグループに分けられているとします。決定は2つ以上のグループが支持すれば承認され、各グループでは3人以上の投票者が支持すれば承認されます。したがって、6人の投票者しか支持していなくても決定は承認される可能性があります。

ボランド、プロシャン、トン^[6]は、投票者が独立しておりp>1/2の場合、コンドルセの定理のように直接多数決システムは常に間接多数決システムよりも正しい決定を受け入れる可能性が高いことを証明しています。

バーグとパロウシュ^[28]は、複数の階層を持つ多層投票階層構造を考察している。この階層構造では、各階層で異なる意思決定ルールが適用される場合がある。彼らは最適な投票構造を研究し、その有能性と時間節約やその他の費用のメリットを比較している。

グッディンとシュピーカーマン^[29]は、より良い決定を受け入れるためには、少数の専門家のグループが平均的な有権者よりもどれだけ優れている必要があるかを計算した。

戦略的投票

3つ以上の選択肢があり、有権者の選好が異なる場合、戦略的投票が行われることはよく知られています。例えば、最悪の選択肢が選ばれるのを防ぐために、次善の選択肢に投票するなどです。驚くべきことに、戦略的投票は、選択肢が2つで、すべての有権者が真実を明らかにするという同じ選好を持っている場合でも発生する可能性があります。例えば、被告人が有罪か無罪かという問題があり、ある陪審員が真の答えは「有罪」だと考えているとします。しかし、彼は自分の投票が有効になるのは他の票が同数の場合のみであることも知っています。しかし、他の票が同数の場合、被告人が有罪である確率はほぼ1/2になります。これを考慮すると、陪審員はこの確率では「有罪」と判断するには不十分だと判断し、「無罪」に投票するかもしれません。しかし、他のすべての有権者が同じことをした場合、間違った答えが導き出されます。ゲーム理論的に言えば、真実に基づいた投票はナッシュ均衡ではないかもしれません。^[30]この問題は、オークション理論における 勝者の呪いに類似しているため、「浮動票の呪い」と呼ばれています。 ^[31]

^{ペレグとザミール[32]}による陪審定理は、コンドルセの陪審定理を満たすベイジアン・ナッシュ均衡の存在のための必要条件と必要条件を示している。ボズベイ、ディートリッヒ、ピーターズ^[33]は、戦略的投票においても投票者の個人情報を効率的に集約できる投票規則を示している。

実際には、この問題はそれほど深刻ではないかもしれない。なぜなら、ほとんどの有権者は最終的な結果だけでなく、良心に基づいて正しく投票することにも関心を持っているからだ。さらに、ほとんどの有権者は戦略的に投票できるほど洗練されていない。^{[1] : 4.7}

主観的な意見

単なる事実ではなく価値観や好みに基づいて政策決定を行う場合、「正しさ」という概念は意味をなさない可能性があります。

この定理を擁護する人々の中には、投票が単に個人の選好を表明するものではなく、どの政策が公共の利益を最も促進するかを決定することを目的としている場合にも適用できると主張する者もいる。この解釈によれば、この定理は、有権者の各メンバーが2つの政策のどちらが優れているかについて漠然とした認識しか持っていないとしても、多数決は増幅効果を持つということを示唆している。各有権者が間違っているよりも正しいことが多いと仮定すると、多数派がより良い選択肢を選択する確率で表される「集団の能力レベル」は、有権者の規模が大きくなるにつれて1に近づく。

いくつかの論文は、合理的な条件下では、大規模な集団の方が多数派の好みをよりよく追跡できることを示しています。^{[34] : 323  [35] [36]}

適用範囲

陪審定理、特にコンドルセの陪審定理（CJT）の民主主義プロセスへの適用性については議論がある。これは、多数決が個々の能力に応じて完璧なメカニズムとなるか、あるいは破滅的な結果をもたらすかを示す可能性があるためである。最近の研究では、非同質的なケースでは、この定理のテーゼはほぼ確実には成立しないことが示されている（ただし、重み付き多数決において、認識論的合理性と相関する確率的重みを用いて、かつすべての投票者の重みが最小で1となるような重み付けが用いられた場合は除く）。^[37]

さらに読む

• 大数の法則: 陪審定理の数学的一般化。
• 集団的意思決定における進化^[38]
• 認識論的民主主義の実現：陪審定理の前提に対する批判^[39]
• 民主主義の認識論：陪審定理と他の二つの民主主義の認識論的モデルの比較：実験主義と多様性は能力に勝る^[40]

参考文献

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