カックの補題

エルゴード理論において、数学者マーク・カックが1947年に実証したカックの補題[ ^{1 ]は}、有限測度空間において、測度が であるような空間の集合に含まれるほぼすべての点の軌道がに反比例する平均時間内にに戻ることを述べた補題である。^{[ 2 ]}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)}$

この補題はポアンカレの再帰定理を拡張したもので、点は無限回で戻ってくることが示されている。^{[ 3 ]}${\displaystyle A}$

正式な声明

を有限測度空間とする。をを保存する測度可能な変換とする。を正の測度を持つ任意の測度可能な集合とする。 ${\displaystyle (M,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {B}}}$

初回復帰時間関数を次のように 定義する。${\displaystyle \rho _{E}:E\to \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}}$

${\displaystyle \rho _{E}(x)=\min\{n\geq 1:f^{n}(x)\in E\}}$

この集合が空でない場合は となり、の反復がに含まれない場合は となります。(ポアンカレの再発定理により、右側の集合はほとんどすべての点について空でないことに注意してください。) ${\displaystyle \rho _{E}(x)=\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$

このとき、カッツの補題の一つのバージョンは、が積分可能（すなわち）であることを述べ、 ${\displaystyle \rho _{E}}$ ${\displaystyle \rho _{E}\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu |_{E})}$

${\displaystyle \int _{E}\rho _{E}{\text{d}}\mu =\mu (M)-\mu (E_{0}^{*}).}$

このバージョンは、初等測度論と実解析を用いて証明可能である。もし系が実際にエルゴード的であれば、集合の測度はゼロとなるので、両辺を で割ると、（ のほぼ全域において）平均帰還時間は空間全体の測度を集合 の測度で割った値に等しくなることが確かに得られる。これは補題の主張である。 ${\displaystyle (f,\mu )}$ ${\displaystyle E_{0}^{*}}$ ${\displaystyle \mu (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

応用

物理学において、時間とともに発展する力学系は、位相空間、すなわちいくつかの変数の時間発展によって記述される。この変数が有界、つまり最小値と最大値を持つ場合、リウヴィルの定理により、空間内に測度を定義することができ、その測度空間には補題が適用される。結果として、系の構成（位相空間内の点）が与えられた場合、この構成に近い（点の近傍）平均回帰周期は、構成を囲む体積の大きさに反比例する。

測度空間を1に正規化すると、それは確率空間となり、その集合の測度はその集合の点によって表される状態にある系を見つける確率を表す。この場合、補題は、ある状態（またはそれに近い状態）にある確率が小さいほど、その状態に近い状態に戻るまでの時間が長くなることを意味する。^{[ 4 ]}${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$

数式では、が開始点に近い領域で が再来期間である場合、その平均値は次のようになります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{R}}$

${\displaystyle \langle T_{R}\rangle =\tau /P(A)}$

は、問題のシステムの特性時間です。 ${\displaystyle \tau}$

の体積はシステム内の変数（無限小側、つまり次元の体積の1未満）に指数的に依存しているため、 ^{[ 5 ]}はシステムの変数が増加するにつれて急速に減少し、その結果、再来周期が指数的に増加することに注意してください。^{[ 6 ]}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A=\epsilon ^{n}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(A)}$

実際には、システムを記述するために必要な変数が増加すると、再現期間は急速に増加します。^{[ 7 ]}

参考文献

1. Kac, Mark (1947). 「離散確率過程における再帰性の概念について」(PDF) .アメリカ数学会報. 53 (10): 1002– 1010. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08927-8 .
2. Hochman, Michael (2013-01-27). 「エルゴード理論に関するノート」(PDF) . p. 20.
3. ウォークデン、チャールズ. 「MAGIC: エルゴード理論の10回の講義 – 講義5」 .
4. ペレイラ、ティアゴ. 「講義ノート - エルゴード理論入門」(PDF) .インペリアル・カレッジ・ロンドン. 数学部. p. 12.
5. .制限のリストを参照してください。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\epsilon ^{n}=0\quad {\text{for}}\quad 0<\epsilon <1}$
6. ガンマイトーニ、ルカ;ヴルピアーニ、アンジェロ（2019）。Perché è difficile prevedere il futuro (イタリア語)。バーリ：エディツィオーニ・デダーロ。 p. 91.ISBN​ 978-88-220-6882-8。
7. ピーターセン、カール・E. (1983).エルゴード理論. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 37. ISBN 0521236320。

さらに読む

• Kac, Mark (1947). 「離散確率過程における再帰性の概念について」(PDF) .アメリカ数学会報. 53 (10): 1002– 1010. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08927-8 .
• ウォークデン、チャールズ. 「マジック：エルゴード理論10講義コース - 講義5」 .
• ピーターセン、カール・E. (1983).エルゴード理論. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 46. ISBN 0521236320。
• ホックマン、マイケル (2013-01-27). 「エルゴード理論に関するノート」(PDF) .