カプランスキー密度定理

フォン・ノイマン代数理論において、アーヴィング・カプランスキーによるカプランスキー密度定理は、基本的な近似定理である。この技術的ツールの重要性と普遍性から、ゲルト・ペダーセンは著書^[1]の中で次のように述べている。

密度定理はカプランスキーが人類に与えた偉大な贈り物です。毎日使うことができ、日曜日には2回使うこともできます。

正式な声明

K ^{− をヒルベルト空間}H上の有界作用素の集合B(H)における集合Kの強作用素閉包と表し、( K ) _{1 を}KとB(H)の単位球との交差と表すものとする。

カプランスキー密度定理。^[2]がの演算子の自己随伴代数である場合、の強演算子閉包の単位球内の各要素はの単位球の強演算子閉包に含まれます。言い換えると、です。がの自己随伴演算子である場合、はの自己随伴演算子の集合の強演算子閉包に含まれます。

A

B(H)

a

A

A

(A)_{1}^{-}=(A^{-})_{1}

h

(A^{-})_{1}

h

(A)_{1}

カプランスキー密度定理は、強演算子トポロジーに関するいくつかの近似を定式化するために使用できます。

1) h が( A ⁻ ) ₁の正演算子である場合、h は( A ⁺ ) ₁の自己随伴演算子の集合の強演算子閉包に含まれます。ここで、A ^+はAの正演算子の集合を表します。

2) A がヒルベルト空間Hに作用するC*-代数であり、uが A ⁻のユニタリ演算子である場合、u はAのユニタリ演算子の集合の強演算子閉包に含まれる。

上記の密度定理と 1) では、単位球の代わりに半径r > 0の球を考えた場合でも結果は成り立ちます。

標準的な証明は、有界連続実数値関数fが強作用素連続であるという事実を用いる。言い換えれば、Aの自己随伴作用素のネット { a _α }に対して、連続関数計算a → f ( a ) は以下を満たす。

\lim f(a_{\alpha })=f(\lim a_{\alpha })

強作用素位相において。これは、 A ⁻の単位球の自己随伴部分が、Aの自己随伴元によって強近似できることを示しています。対角要素が0で、他の要素がaとa ^*である自己随伴作用素を考慮したM ₂ ( A )の行列計算により、自己随伴性制約が解除され、定理が証明されます。

^ 25ページ；ペダーセン、GK、「C*-代数とその自己同型群」、ロンドン数学会モノグラフ、ISBN 978-0125494502。
^ 定理5.3.5; Richard Kadison ,作用素環理論の基礎, 第1巻: 初等理論, アメリカ数学会. ISBN 978-0821808191。