加藤の予想

加藤予想は、カリフォルニア大学バークレー校の数学者加藤敏夫にちなんで名付けられた数学の問題である。加藤は1953年にこの問題を初めて提起した。^[¹^]

加藤は、関数計算によって定義された特定の楕円作用素の平方根が解析的かどうかを問うた。アウシャーらによるこの予想の完全な記述は、「 R ⁿにおける有界な測定可能な係数を持つ一様複素楕円作用素の平方根の定義域は、推定値を持つ任意の次元のソボレフ空間H ¹ ( R ⁿ ) である」である。^[²^] $L=-\mathrm {div} (A\nabla )$ $||{\sqrt {L}}f||_{2}\sim ||\nabla f||_{2}$

この問題は半世紀近く未解決のままだったが、2001年にパスカル・アウシャー、スティーブ・ホフマン、マイケル・レイシー、アラン・マッキントッシュ、フィリップ・チャミッチアンが共同で肯定的に解決した。^{[ 2 ]}

参考文献

^加藤敏雄 (1953). 「バナッハ空間における発展方程式の積分」 . J. Math. Soc. Jpn . 5 (2): 208– 234. doi : 10.2969/jmsj/00520208 . MR 0058861 .
^ ^a ^b Auscher, Pascal; Hofmann, Steve; Lacey, Michael; McIntosh, Alan; Tchamitchian, Philippe (2002). 「R ⁿ上の2次楕円作用素に対するKato平方根問題の解」Annals of Mathematics . 156 (2): 633– 654. doi : 10.2307/3597201 . JSTOR 3597201 . MR 1933726 .

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[1] 加藤敏雄 (1953). 「バナッハ空間における発展方程式の積分」 . J. Math. Soc. Jpn . 5 (2): 208– 234. doi : 10.2969/jmsj/00520208 . MR 0058861 .

[:0-2] Auscher, Pascal; Hofmann, Steve; Lacey, Michael; McIntosh, Alan; Tchamitchian, Philippe (2002). 「R ⁿ上の2次楕円作用素に対するKato平方根問題の解」Annals of Mathematics . 156 (2): 633– 654. doi : 10.2307/3597201 . JSTOR 3597201 . MR 1933726 .

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