カジュダン・マルグリスの定理

数学の一分野であるリー理論において、カジュダン・マルグリスの定理は、半単純リー群の離散部分群は群内で稠密になりすぎることはできないことを主張するものです。より正確には、そのようなリー群には単位元の一様近傍が存在し、群内のすべての格子には共役点があり、この近傍との交点には単位元のみが含まれます。この結果は1960年代にデイヴィッド・カジュダンとグリゴリー・マルグリスによって証明されました。^[1]

記述と注釈

カジダン・マルグリスの定理の正式な記述は次のとおりです

を半単純リー群とします。における恒等式の開近傍が存在し、任意の離散部分群に対してを満たす要素が存在します。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g\Gamma g^{-1}\cap U=\{e\}}$

一般的なリー群では、この記述は真実からは程遠いことに注意してください。特に、冪零リー群では、単位元 の任意の近傍に対して、近傍との交差によって生成される格子が群内に存在します。たとえば、 では、 が十分に小さい場合、格子はこの特性を満たします。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

証明

カジュダン＝マルグリスの主要な技術的結果は、それ自体が興味深く、上記のよりよく知られた命題が直ちに導かれるものであり、以下の通りである。^[2]

ノルム を持つ、コンパクト因子のない半単純リー群が与えられている場合、におけるの近傍、つまり というコンパクト部分集合が存在し、任意の離散部分群に対してが存在し、そのようなに対してすべて となる。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E\subset G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle g\in E}$ ${\displaystyle |g\gamma g^{-1}|\geq c|\gamma |}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma \cap U_{0}}$

近傍は の恒等関数のザッセンハウス近傍として得られます。この定理は標準的なリー理論的議論に従って成り立ちます。 ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle G}$

他にも証明は存在します。より幾何学的な性質を持ち、より多くの情報を与える証明が1つあります^{[3] [4]}。そして、不変ランダム部分群の概念に基づく3つ目の証明は、かなり簡潔です^{[5] 。}

応用

セルバーグの予想

カジュダン＝マルグリスの動機の一つは、当時セルバーグの予想として知られていた次の命題を証明することでした（格子の商空間がコンパクトである場合、その格子は一様であると呼ばれます）。

半単純リー群の格子は、それが単零元を含む場合のみ非一様である。

この結果は、カジダン・マルグリスの定理のより技術的なバージョンと、単位元に任意に近い値（与えられた元に対して）で共役できるのは単元のみであるという事実から導き出されます。

局所対称空間の体積

この定理の帰結として、半単純リー群の格子に関連付けられた局所対称空間とオービフォールドは、（ハール測度の正規化を与えられた場合）任意の小さな体積を持つことはできない、ということが言える。

双曲面の場合、これはシーゲルによるもので、双曲平面を格子で割った商の最小共体積に対しては の明示的な下限が存在する（フルヴィッツの自己同型定理を参照）。双曲三次元多様体の場合、最小体積の格子は既知であり、その共体積は約0.0390である。^{[6]高次元では、最小体積の格子を見つける問題は未解決であるが、}算術群のサブクラスに制限することで解決されている。^[7]${\displaystyle \pi /21}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

王の有限性定理

局所剛性と格子の有限生成とともに、カズダン＝マルグリスの定理は王の有限性定理の証明において重要な要素です。^[8]

がまたはと局所的に同型でない固定ハール測度を持つ単純リー群であり、未満の共体積の格子は 内に有限個しか存在しない場合。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v}$

参照

• マーギュリスの補題

注釈

1. カジュダン、デイヴィッド；マーグリス、グリゴリー(1968). 「セルバーグの仮説の証明」 . Math. USSR Sbornik . 4. Z. Skalsky 訳: 147–152 . doi :10.1070/SM1968v004n01ABEH002782. MR  0223487
2. ラグナタン 1972、定理 11.7。
3. ゲランダー、ツァチク (2011). 「格子の体積とランク」。数学に関するジャーナル。2011 (661 ) : 237–248.arXiv : 1102.3574 。土井：10.1515/CRELLE.2011.085。S2CID  122888051。
4. バルマン, ヴェルナー;グロモフ, ミカエル; シュレーダー, ヴィクトル (1985).非正曲率多様体. 『数学の進歩』第61巻. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. doi : 10.1007/978-1-4684-9159-3 . ISBN 978-1-4684-9161-6。
5. Gelander, Tsachik (2018). 「不変ランダム部分群に対するKazhdan-Margulisの定理」. Advances in Mathematics . 327 : 47–51 . arXiv : 1510.05423 . doi :10.1016/j.aim.2017.06.011. S2CID  119314646
6. Marshall, Timothy H.; Martin, Gaven J. (2012). 「極小共体積双曲格子 II：クライン群における単純捩れ」Annals of Mathematics . 176 : 261– 301. doi : 10.4007/annals.2012.176.1.4 . MR  2925384.
7. Belolipetsky, Mikhail; Emery, Vincent (2014). 「小体積の双曲多様体」(PDF) . Documenta Mathematica . 19 : 801–814 . arXiv : 1310.2270 . doi : 10.4171/dm/464 . S2CID 303659  .
8. 定理8.1、Wang, Hsien-Chung (1972)「完全に不連続な群に関する話題」、Boothby, William M.; Weiss, Guido L. (eds.)、対称空間、ワシントン大学で行われた短期講座、純粋および応用数学、第1巻、Marcel Dekker、pp.  459– 487、Zbl  0232.22018

参考文献

• ゲランダー、ツァチク (2014). 「格子と局所対称空間に関する講義」. ベストヴィナ、ムラデン、サゲエフ、カレン・ヴォクトマン（編）.幾何学群論. pp.  249– 282. arXiv : 1402.0962 .書誌コード:2014arXiv1402.0962G
• ミシシッピ州ラグナサン（1972年）。リー群の離散サブグループ。 Ergebnisse de Mathematik および ihrer Grenzgebiete。スプリンガー・フェルラーグ。MR0507234  。