ケプラー・ポアンソ多面体
大十二面体
小さな星型十二面体
大二十面体
大星型十二面体

幾何学において、ケプラー・ポアンソ多面体（ケプラー・ポアンソたてん）は、4つの正多面体のうちのいずれかである。[ 1 ]

これらは正凸十二面体と正二十面体を星形化することで得られ、正五芒星の面または頂点図形を持つ点で正凸十二面体と正二十面体とは異なります。これらはすべて、何らかの形で五芒星の三次元的類似物と見なすことができます。

特徴

ケプラー・ポアンソ多面体は、正二十面体と正十二面体の両方を拡張する操作（星形化）によって得られる正星型多面体である。この操作によって、4つの異なる多面体が得られる。[ 2 ]

コンウェイの6つの多面体の関係体系（密度の順に垂直に並べられている）。ここで、緑の矢印は双対性のつながり、青は大円（g）、オレンジは星形（s）を表す。[ 7 ]

ジョン・コンウェイはケプラー・ポアンソ多面体に対し、面の種類を維持しながら平行平面に移動・サイズ変更するグレーティング（(g)）と、五角形面を五芒星形に変換するステレーション（(s)）と呼ばれる演算子を導入した。彼の命名規則では、小さな星型十二面体は星型十二面体とされている。[ 7 ]

上記の構成により、これらの図形は面または頂点図形として五芒星（星型五角形）を持つ。 [ 2 ]大十二面体の双対多面体は小星型十二面体であり、大二十面体の双対多面体は大星型十二面体である。[ 8 ]これら4つは正二十面体と正十二面体の両方として対称性を共有しており、これは二十面体対称性である。[ 9 ]

オイラー特性

ケプラー・ポアンソ多面体は、外接球面を複数回覆う。五芒星面を持つ図形では面の中心が屈曲点として作用し、その他の図形では頂点が屈曲点として作用する。そのため、プラトン立体のように球面と位相的に必ずしも同値とは限らず、特にオイラーの関係 が常に成立するわけではない。シュレーフリは、すべての多面体はχ = 2でなければならないと主張し、小星型十二面体と大十二面体を真の多面体として否定した。この見解は広く受け入れられることはなかった。[ 10 ]χ＝V−E+F＝2 {\displaystyle \chi =V-E+F=2\ }

頂点図形（）と面（）の密度（ ）を用いたオイラーの公式の修正形は、アーサー・ケイリーによって示され、凸多面体（補正係数がすべて1）とケプラー・ポアンソ多面体の両方に当てはまります。[ 11 ] この計算によると、大二十面体と大星型十二面体の密度は7であるのに対し、大十二面体と小星型十二面体は3です。[ 12 ]D{\displaystyle D}dv{\displaystyle d_{v}}df{\displaystyle d_{f}}dvV−E+dfF＝2D、{\displaystyle d_{v}V-E+d_{f}F=2D,}

双対性とペトリー多角形

ケプラー・ポアンソ多面体は双対で存在します。双対のケプラー・ポアンソ多面体は同一のペトリー多角形、より正確には同一の二次元投影を持つペトリー多角形を持ちます。

以下の図は、同じ辺半径を持つ2つの双対化合物を示しています。また、ペトリー多角形が歪んでいることも示しています。以下の記事で説明されている2つの関係も、これらの図から容易に確認できます。紫色の辺は同じであり、緑色の面は同じ平面にあります。

前方の水平エッジ前面の垂直エッジペトリー多角形
小さな星型十二面体{52、5}{\displaystyle \left\{{\frac {5}{2}},5\right\}}大十二面体{5、52}{\displaystyle \left\{5,{\frac {5}{2}}\right\}}六角形{61、3}{\displaystyle \left\{{\frac {6}{1,3}}\right\}}
大二十面体{3、52}{\displaystyle \left\{3,{\frac {5}{2}}\right\}}大星型十二面体{52、3}{\displaystyle \left\{{\frac {5}{2}},3\right\}}デカグラム{103、5}{\displaystyle \left\{{\frac {10}{3,5}}\right\}}
sDとgDとペトリー六角形の複合体
gIとgsDをペトリーデカグラムで合成

まとめ

名前（コンウェイの略称） 写真 球状タイリング 星型図 シュレーフリ{p, q} とコクセター・ディンキン顔{p} エッジ 頂点{q} 頂点図形（構成）ペトリー多角形χ密度対称デュアル
大十二面体（gD） {5、5/2}12 {5} 3012 {5/2}(5 5 )/2 {6} −63私は小さな星型十二面体
小星型十二面体（sD） {5/2、5}12 {5/2} 3012 {5}（5/2）5{6} −63私は大十二面体
大二十面体（gI） {3、5/2}20 {3} 3012 {5/2}（3 5）/2 {10/3} 27私は大星型十二面体
大星型十二面体（sgD = gsD） {5/2、3}12 {5/2} 3020 {3}（5/2）3{10/3} 27私は大二十面体

歴史

左上から右下:ヴェネツィアのサン・マルコ寺院の床モザイク(おそらくパオロ・ウッチェロ作) 、 Perspectiva Corporum Regularium (1568)の大十二面体と大星型十二面体、ヨハネス・ケプラーの星型十二面体 (1619)、テュービンゲン大学の大二十面体のボール紙製模型(1860 年頃)、およびアレクサンダーの星。

ケプラー・ポアンソ多面体のほとんどは、ケプラー以前から何らかの形で知られていました。イタリア、ヴェネツィアのサン・マルコ寺院の床にある大理石のタルシア（象嵌板）には、小さな星型十二面体が見られます。これは15世紀のもので、パオロ・ウッチェロの作とされることもあります。[ 13 ]

ヴェンツェル・ヤムニッツァーは1568年に出版された木版画集『Perspectiva corporum regularium』の中で、大星型十二面体と大十二面体を描いている。本書の全体的な構成から、ヤムニッツァーは5つのプラトン立体のみを正多面体とみなしていたことが明らかである。[ 14 ] [ 15 ]

ケプラー多面体と呼ばれることもある小星型十二面体と大星型十二面体は、1619年頃にヨハネス・ケプラーによって初めて正多面体として認識されました。 [ 16 ]彼は正凸十二面体を星型にすることでこれらの多面体を得ました。これは、正凸十二面体を立体ではなく面として扱う初めての試みでした。彼は凸十二面体の辺または面を再び接するまで延長することで、星型五角形を形成できることに気付きました。さらに、彼はこれらの星型五角形も正多面体であることを認識しました。このようにして、彼は2つの星型十二面体を構築しました。それぞれの面の中央の凸領域は内部に「隠れ」ており、三角形の腕だけが見える状態です。ケプラーの最終段階は、これらの多面体が従来のプラトン立体のように凸型ではないにもかかわらず、正多面体の定義に適合していることを認識することでした。

1809年、ルイ・ポアンソは、各頂点の周囲に星型の五角形を組み立てることでケプラーの図形を再発見しました。彼はまた、星の頂点の周囲に凸多面体を組み立てて、さらに2つの正星、大二十面体と大十二面体を発見しました。これら2つをポアンソ多面体と呼ぶ人もいます。ポアンソは、すべての正星型多面体を発見したかどうかは知りませんでした。3年後、オーギュスタン・コーシーはプラトン立体を星型にすることでリストが完全であることを証明し、[ 17 ]それからほぼ半世紀後の1858年、ベルトランは、それらをファセット化することでより洗練された証明を提供しました。[ 18 ]翌年、アーサー・ケイリーはケプラー・ポアンソ多面体に今日一般的に知られている名前を与えました。[ 19 ] 100年後、ジョン・コンウェイは4次元までの星型に対して体系的な用語を開発しました。この図式では、小さな星型十二面体はまさに星型十二面体である。[ 7 ]

芸術家MCエッシャーは幾何学的形状への関心から、正立体を題材とした作品や正立体を含む作品を数多く制作した。例えば『グラビテーション』は小さな星型十二面体をモチーフにしている。[ 2 ] 1980年代のパズル『アレクサンダーの星』では、この大十二面体の断面が用いられた。[ 20 ]ノルウェーの芸術家ヴェビョルン・サンドの彫刻『ケプラーの星』は、オスロ空港近くのガーデモエンに展示されている。この星は直径14メートルで、大星型十二面体の中に正二十面体と正十二面体が配置されている。

参照

参考文献

  1. ^ Coxeter,星型多面体とシュレーフリ関数 f(α,β,γ) p. 121 1. ケプラー・ポアンソ多面体
  2. ^ a b cジョン・バーンズ (2012).幾何学の宝石(第 2 版)。スプリンガー。 p. 46.土井：10.1007/978-3-642-30964-9。ISBN 978-3-642-30964-9。
  3. ^ピーター・クロムウェル（1997年）『多面体』ケンブリッジ大学出版局、265頁。ISBN 978-0-521-66405-9。
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  8. ^ウェニンガー、マグナス(1983).デュアルモデル.ケンブリッジ大学出版局. pp.  39– 41. ISBN 0-521-54325-8。
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  10. ^ Coxeter, HSM (1947).正多面体. メシューエン. p.  114 .
  11. ^ Huylebrouck, Dirk (2016). 「『珍しい』多面体のためのオイラー-ケーリーの公式」(PDF) . イヴ・トーレンス、ブルース・トーレンス、カルロ・H.・セキン、ダグラス・マッケナ、クリストフ・フェニヴェシ、レザ・サルハンギ（編）. Bridges Finland: 数学、音楽、芸術、建築、教育、文化.フェニックス、アリゾナ州: Tessellations Publishing.
  12. ^バーンズ（2012） 、 47頁 。
  13. ^ Coxeter, HSM (2013). 「正多面体と半正多面体」.セネシャル, マージョリー編. 『空間を形づくる：自然、芸術、そして幾何学的想像力における多面体の探究』（第2版）. シュプリンガー. pp.  41– 52. doi : 10.1007/978-0-387-92714-5 . ISBN 978-0-387-92713-8。特に42ページをご覧ください。
  14. ^イノチェンツィ、プリニオ (2019). 『レオナルドの背後にいた革新者たち：科学技術ルネサンスの真実の物語』 p. 256–257. doi : 10.1007/978-3-319-90449-8 . ISBN 978-3-319-90449-8。
  15. ^スクリバ、クリストフ、シュライバー、ピーター（2015年）。『5000年の幾何学：歴史と文化における数学』シュプリンガー、 p.305。doi ：10.1007/978-3-0348-0898-9。ISBN 978-3-0348-0898-9。
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  17. ^コーシー、オーギュスタン＝ルイ(1813)。 「Recherches sur les Polyèdres」。エコールポリテクニックジャーナル。9：68～ 86。
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  • 万華鏡： HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] 2016年7月11日にWayback Machineにアーカイブ
    • （論文1）HSM Coxeter, 9つの正則立体[Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
    • (論文 10) HSM Coxeter、星型ポリトープ、およびシュラフリ関数 f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
  • テオニ・パパス（ケプラー・ポアンソ立体）『数学の喜び』サンカルロス、カリフォルニア州：ワイドワールド出版／テトラ、113ページ、1989年。
  • ルイ・ポアンソ、ポリゴンとポリエードルのメモワール。J. de l'École Polytechnique 9、16–48ページ、1810 年。
  • ラカトシュ、イムレ著『証明と反駁』ケンブリッジ大学出版局（1976年） - オイラー特性の証明に関する議論
  • アンソニー・ピュー（1976年）『多面体：視覚的アプローチ』カリフォルニア州：カリフォルニア大学出版局バークレー校、ISBN 0-520-03056-7。第8章 ケプラーのポアゾ多面体
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