キリングテンソル

数学において、キリングテンソルまたはキリングテンソル場は、キリングベクトルをベクトル場だけでなく対称 テンソル場にも一般化したものです。これはリーマン幾何学および擬リーマン幾何学の概念であり、主に一般相対性理論で用いられます。キリングテンソルは、キリングベクトルに対するキリング方程式に類似した方程式を満たします。キリングベクトルと同様に、すべてのキリングテンソルは測地線に沿って保存される量に対応します。しかし、多様体の対称性（等長変換）に関連付けられているキリングベクトルとは異なり、キリングテンソルには一般にそのような直接的な幾何学的解釈がありません。キリングテンソルは、ヴィルヘルム・キリングにちなんで名付けられました。

定義と特性

以下の定義では、テンソルの添え字を囲む括弧は対称化を表す記法です。例えば、

${\displaystyle T_{(\alpha \beta \gamma )}={\frac {1}{6}}(T_{\alpha \beta \gamma }+T_{\alpha \gamma \beta }+T_{\beta \alpha \gamma }+T_{\beta \gamma \alpha }+T_{\gamma \beta \alpha })}$

意味

キリングテンソルは、対称（つまり、 ）な（擬）リーマン多様体上の（ある位数mの）テンソル体 であり、次式を満たす：^{[1] [2]}${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=K_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m})}}$

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=0}$

この方程式は、キリングベクトルに対するキリング方程式の一般化です。

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta )}={\frac {1}{2}}(\nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha })=0}$

プロパティ

キリングベクトルはキリングテンソルの特殊なケースです。キリングテンソルのもう一つの簡単な例としては、計量テンソル自体があります。キリングテンソルの線型結合はキリングテンソルです。キリングテンソルの対称積もまたキリングテンソルです。つまり、とがキリングテンソルであれば、もキリングテンソルです。^[1]${\displaystyle S_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}}$ ${\displaystyle T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle S_{(\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}}$

全てのキリングテンソルは測地線上の運動定数に対応する。より具体的には、接線ベクトルを持つ全ての測地線について、その量は測地線に沿って一定である。^{[1] [2]}${\displaystyle u^{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}u^{\beta _{1}}\cdots u^{\beta _{m}}}$

例

キリングテンソルはキリングベクトルの一般化であるため、キリングベクトル場§例の例はキリングテンソルの例でもあります。以下の例は、キリングベクトルから単純に得られるものではないキリングテンソルに焦点を当てています。

FLRWメトリック

宇宙論で広く用いられるフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量には、その空間対称性、特に任意の軸の周りの回転と、平坦な場合には、、、およびに沿った並進に対応する空間的キリングベクトルが存在する。また、キリングテンソルも存在する。 ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle K_{\mu \nu }=a^{2}(g_{\mu \nu }+U_{\mu }U_{\nu })}$

ここでaはスケール係数、t座標基底ベクトルであり、−+++署名規則が使用される。^[3]${\displaystyle U^{\mu }=(1,0,0,0)}$

カーメトリック

回転するブラックホールを記述するカー計量には、2つの独立したキリングベクトルがあります。1つのキリングベクトルは計量の時間並進対称性に対応し、もう1つは回転軸を中心とした軸対称性に対応します。さらに、ウォーカーとペンローズ（1970）が示したように、2次の非自明なキリングテンソルが存在します。 ^{[4] [5] [6]}このキリングテンソルに対応する運動定数はカーター定数と呼ばれます。

キリング・ヤノテンソル

p位の反対称テンソルは、次式を満たすときキリング・ヤノテンソル（Tenseur de Killing-Yano）と呼ばれる。 ${\displaystyle f_{a_{1}a_{2}...a_{p}}}$

${\displaystyle \nabla _{b}f_{ca_{2}...a_{p}}+\nabla _{c}f_{ba_{2}...a_{p}}=0\,}$ 。

これもキリング ベクトルの一般化ですが、共変微分が1 つのテンソル インデックスのみで縮約される点で通常のキリング テンソルと異なります。

共形キリングテンソル

共形キリングテンソルは、キリングテンソルと共形キリングベクトルの一般化である。共形キリングテンソルは、対称で次式を満たすテンソル場（ある位数m ）である。 ^[4]${\displaystyle K}$

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=k_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m-1}}g_{\beta _{m}\alpha )}}$

対称テンソル場に対して、これは共形キリングベクトルの式を一般化したものであり、 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha }=\lambda g_{\alpha \beta }}$

あるスカラー場に対して。 ${\displaystyle \lambda }$

全ての共形キリングテンソルは、ヌル測地線に沿った運動定数に対応する。より具体的には、接線ベクトルを持つ全てのヌル測地線について、その量は測地線に沿って一定である。^[4]${\displaystyle v^{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}v^{\beta _{1}}\cdots v^{\beta _{m}}}$

共形キリングテンソルの性質は、共形変換の下で以下の意味で保存される。 が計量 に関する共形キリングテンソルである場合、 は共形的に同値な計量 に関する共形キリングテンソルであり、任意の正の値 に対して成り立つ。^[7]${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=u^{m}K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{\alpha \beta }=ug_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle u}$

参照

• 殺害形態
• キリングベクトルフィールド
• ヴィルヘルム殺害

参考文献

1. キャロル 2003、136～137ページ
2. Wald 1984、444ページ
3. キャロル 2003, p. 344
4. ウォーカー、マーティン;ペンローズ、ロジャー(1970)、「{22} 型時空の測地線方程式の二次第一積分について」(PDF)、Communications in Mathematical Physics、18 (4): 265– 274、doi :10.1007/BF01649445、S2CID  123355453
5. キャロル 2003、262–263ページ
6. ウォルド 1984、321ページ
7. Dairbekov, NS; Sharafutdinov, VA (2011)、「リーマン多様体上の共形キリング対称テンソル場について」、Siberian Advances in Mathematics、21 : 1– 41、arXiv : 1103.3637、doi :10.3103/S1055134411010019

• キャロル、ショーン（2003）、時空と幾何学：一般相対性理論入門、ISBN 0-8053-8732-3
• ウォルド、ロバート・M.（1984）、一般相対性理論、シカゴ：シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-87033-2