運動学方程式

運動学方程式は、ロボットマニピュレータなどの機械システムの拘束方程式であり、タスク位置またはエンドエフェクタの位置を達成するために、1つまたは複数の関節での入力動作がデバイスの構成をどのように指定するかを定義します。^{[1] [2]}運動学方程式は、4節リンクからシリアルおよびパラレルロボットに至るまでの多関節システムの解析と設計に使用されます。

運動学方程式は、関節式機械システムの幾何学的構成を特徴付ける拘束方程式です。したがって、これらの方程式では、リンクは剛体であり、ジョイントは純粋な回転または並進運動を行うと仮定します。この種の拘束方程式は、多体系の 力学研究においてホロノミック拘束として知られています。

ループ方程式

機械システムの運動学方程式は、機械システム内のリンクおよびジョイントに沿った一連の剛体変換として形成されます。ループ周りの変換は必ず恒等式に戻るという原理から、ループ方程式と呼ばれるものが生まれます。 機械システムで利用可能な様々なループ方程式の集合から、独立した運動学方程式の集合が構築されます。

変革

1955年、ジャック・デナビとリチャード・ハルテンバーグは、空間リンクの座標系を標準化するために、ジョイントマトリックス[Z]とリンクマトリックス[X]の定義に関する規約を導入した。^{[3] [4]}この規約は、ジョイントフレームをZ軸に沿ったねじ変位で構成されるように配置します。

${\displaystyle [Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

リンクフレームをX軸に沿ったねじ変位となるように配置する。

${\displaystyle [X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

運動学方程式は、各関節で許容される相対的な動きを特徴付ける剛体変換[Z]と、各リンクの寸法を定義する別の剛体変換 [X] を使用して得られます。

その結果、チェーンのベースからループを回り、ベースに戻るまでのジョイントとリンクの変換を交互に行う一連の剛体変換が得られ、ループ方程式が得られる。

${\displaystyle [Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}]=[I].\!}$

一連の変換はループの先頭に戻るため、 単位行列に等しくなります。

シリアルチェーン

シリアルチェーンロボットの運動学方程式は、ベースからエンドエフェクタへの変換[T]を用いてループ方程式を定式化することで得られる。これは、ロボットに沿った一連の変換に相当する。結果は次の通りである。

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!}$

これらの方程式は、直列チェーンの運動学方程式と呼ばれます。

平行チェーン

複数の直列チェーンによって支持されたエンドエフェクタで構成される並列チェーン、または並列ロボットの運動学方程式は、支持する各直列チェーンの運動学方程式から得られる。m本の直列チェーンがエンドエフェクタを支持していると仮定すると、ベースからエンドエフェクタへの変換はm個の方程式で定義される。

${\displaystyle [T]=[Z_{1,j}][X_{1,j}][Z_{2,j}][X_{2,j}]\ldots [X_{n-1,j}][Z_{n,j}],\quad j=1,\ldots ,m.\!}$

これらの方程式は平行チェーンの運動学方程式です。

直線運動の運動方程式

直線運動（一般的には等速運動）には3つの運動方程式があります。これらは

• v = u + at
• v ² = u ² + 2として
• s = ut + ⁠1/22時^​

ここで、 vは最終速度、uは初速度、aは加速度、tは時間、sは距離（変位とも呼ばれます）です。これらの式に加えて、0秒からn秒までの変位を求めるのに使われる式がもう1つあります。その式は次のとおりです。

• ${\displaystyle S_{n}=u+{\frac {a}{2}}(2n-1)}$

順方向運動学

シリアルロボットとパラレルロボットの運動学方程式は、アクチュエータによって制御される関節角度などのパラメータとエンドエフェクタの位置と方向 [T] を関連付けるものとして考えることができます。

この観点から、運動学方程式は2つの異なる方法で使用できます。1つ目は順運動学と呼ばれ、関節パラメータに指定された値を使用してエンドエフェクタの位置と向きを計算します。2つ目は逆運動学と呼ばれ、エンドエフェクタの位置と向きを使用して関節パラメータの値を計算します。

注目すべきことに、直列チェーンの順運動学は単一の行列方程式の直接計算ですが、並列チェーンの 順運動学では複数の行列方程式を同時に解く必要があり、大きな課題となります。

参考文献

1. ポール、リチャード（1981年）『ロボットマニピュレータ：数学、プログラミング、制御：ロボットマニピュレータのコンピュータ制御』MIT出版、マサチューセッツ州ケンブリッジ。ISBN 978-0-262-16082-7。
2. JM McCarthy、1990 年、「理論運動学入門」、 MIT プレス、マサチューセッツ州ケンブリッジ。
3. J. DenavitとRS Hartenberg、1955年、「行列に基づく下位ペア機構の運動学的表記法」 Trans ASME J. Appl. Mech、 23:215–221。
4. Hartenberg, RS, J. Denavit. Kinematic Synthesis of Linkages. New York: McGraw-Hill, 1964. KMODDLを通じてオンラインで入手可能