キルヒホッフの回路法則

キルヒホッフの回路法則は、電気回路の集中素子モデルにおける電流と電位差（一般に電圧として知られる）を扱う2つの等式です。これらは1845年にドイツの物理学者グスタフ・キルヒホッフによって初めて記述されました。^{[ 1 ]}これはゲオルク・オームの研究を一般化したものであり、ジェームズ・クラーク・マクスウェルの研究に先行するものでした。電気工学において広く用いられており、キルヒホッフの法則、あるいは単にキルヒホッフの法則とも呼ばれます。これらの法則は時間領域と周波数領域に適用でき、ネットワーク解析の基礎となります。

キルヒホッフの法則はどちらも、低周波極限における マクスウェル方程式の系として理解できます。これらの法則は、直流回路、および電磁放射の波長が回路に比べて非常に大きい周波数における交流回路に対して正確です。

キルヒホッフの電流法則

どの接合部にも流入する電流は、その接合部から流出する電流と等しい。i 2 ₊ i ₃ = i ₁ + i ₄

この法則は、キルヒホッフの第一法則、またはキルヒホッフの接合則とも呼ばれ、電気回路内の任意のノード（接合部）について、そのノードに流入する電流の合計は、そのノードから流出する電流の合計に等しい、つまり次のように定義されます。

ある点で交わる導体ネットワーク内の電流の代数和はゼロです。

電流はノードに向かう方向またはノードから離れる方向を反映する符号付き（正または負）の量であることを思い出すと、この原理は次のように簡潔に述べることができます。ここで、 nはノードに向かう方向またはノードから離れる方向に電流が流れるブランチの合計数です。 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}I_{i}=0}$$

キルヒホッフの回路法則は、もともと実験結果から導かれたものです。しかし、電流法則は電荷保存則の拡張と見なすことができます。なぜなら、電荷は電流と電流が流れていた時間の積だからです。ある領域内の正味電荷が一定であれば、その領域の境界上でも電流法則は成り立ちます。^{[ 2 ]}つまり、電流法則は、配線や部品内の正味電荷が一定であるという事実に依存しているということです。

用途

キルヒホッフの電流法則の行列版は、 SPICEなどのほとんどの回路シミュレーションソフトウェアの基礎となっています。この電流法則は、オームの法則と組み合わせて節点解析に使用されます。

現行法は、ネットワークの性質（片側か両側か、能動的か受動的か）に関係なく、あらゆる集中ネットワークに適用されます。

キルヒホッフの電圧法則

ループの周りのすべての電圧の合計はゼロになります。v 1 ₊ v ₂ + v ₃ + v ₄ = 0

この法則は、キルヒホッフの第二法則、またはキルヒホッフのループ則とも呼ばれ、次のことを述べています。

任意の閉ループの周囲の電位差(電圧)の有向和はゼロです。

キルヒホッフの電流法則と同様に、電圧法則は次のように述べることができます。$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}=0}$$

ここで、nは測定される電圧の総数です。

キルヒホッフの電圧法則の導出

（同様の導出はファインマンの講義にも見られる。）^{[ 2 ]}

任意の回路を考えてみましょう。回路を集中定数で近似し、時間変動磁場が各部品に含まれ、回路外部の領域における磁場は無視できるものとします。この仮定に基づくと、マクスウェル・ファラデー方程式は、外部領域において が成り立つことを示しています。各部品が有限の体積を持つ場合、外部領域は に単純に接続されるため、その領域における電界は保存されます。したがって、回路内の任意のループについて、 が成り立ちます。 は、各部品の 外部を1つの端子から別の端子へと巡る経路です。$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {0} }$$ $${\displaystyle \sum _{i}V_{i}=-\sum _{i}\int _{{\mathcal {P}}_{i}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\oint \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =0}$$ ${\textstyle {\mathcal {P}}_{i}}$

この導出では、 からへの電圧上昇について次の定義を使用していることに注意してください。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle V_{a\to b}=-\int _{{\mathcal {P}}_{a\to b}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$$

ただし、電位(および電圧) は、ヘルムホルツ分解などの他の方法で定義することもできます。

一般化

低周波極限では、あらゆるループの周囲の電圧降下はゼロです。これは、回路素子と導体によって囲まれたループに限らず、空間内に任意に配置された仮想ループを含みます。低周波極限では、これはファラデーの電磁誘導の法則（マクスウェル方程式の一つ）の系となります。

これは、「静電気」が関わる状況で実用的に応用できます。

制限事項

キルヒホッフの回路法則は集中定数モデルの結果であり、どちらもモデルが対象の回路に適用可能であることを前提としています。モデルが適用できない場合、これらの法則は適用されません。

電流法則は、あらゆる電線、接合部、または集中定数における正味電荷が一定であるという仮定に基づいています。しかし、2本の電線が容量結合している場合など、回路の各部間の電界が無視できない場合は、必ずしもこの仮定は当てはまりません。これは高周波交流回路で発生し、集中定数モデルは適用できなくなります。^{[ 3 ]}例えば、伝送線路では、導体内の電荷密度が常に変化している可能性があります。

伝送線路では、導体の様々な部分における正味電荷が時間とともに変化します。これは物理的な意味では、KCLに違反します。

一方、電圧法則は、時間変化する磁場の作用がインダクタなどの個々の部品に限定されるという事実に基づいています。実際には、インダクタによって生成される誘導電界は限定されませんが、漏洩電界はしばしば無視できるほど小さいです。

集中定数を用いた実際の回路のモデリング

回路の集中要素近似は、低周波数では正確です。高周波数では、漏れ磁束や導体内の電荷密度の変動が顕著になります。ある程度までは、寄生成分を用いてこのような回路をモデル化することも可能です。周波数が高すぎる場合は、有限要素モデルやその他の手法を用いて直接電磁界をシミュレートする方が適切かもしれません。

両方の法則を適用できるように回路をモデル化するには、物理​​的な回路要素と理想的な集中定数素子の違いを理解することが重要です。例えば、電線は理想的な導体ではありません。理想的な導体とは異なり、電線は互いに（そして電線自身にも）誘導性および容量性結合し、有限の伝播遅延を持ちます。実際の導体は、導体間に分布する寄生容量を考慮して容量性結合をモデル化し、寄生（相互）インダクタンスを考慮して誘導性結合をモデル化することで、集中定数素子でモデル化できます。^{[ 3 ]}電線にも自己インダクタンスがあります。

例

2 つの電圧源と 3 つの抵抗器で構成される電気ネットワークを想定します。

第一法則によれば、 第二法則を閉回路s ₁に適用し、電圧をオームの法則に置き換えると次のようになります。 第二法則を再びオームの法則と組み合わせて閉回路s ₂に適用すると次のようになります。 $${\displaystyle i_{1}-i_{2}-i_{3}=0}$$ $${\displaystyle -R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}=0}$$ $${\displaystyle -R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}=0}$$

これはi ₁ , i ₂ , i ₃における線形方程式の連立方程式を生じ、 これは 次式 と等価である 。解が $${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}-i_{2}-i_{3}&=0\\-R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}&=0\\-R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}&=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}+(-i_{2})+(-i_{3})&=0\\R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}+0i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}\\0i_{1}+R_{2}i_{2}-R_{3}i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=100\Omega ,&R_{2}&=200\Omega ,&R_{3}&=300\Omega ,\\{\mathcal {E}}_{1}&=3{\text{V}},&{\mathcal {E}}_{2}&=4{\text{V}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}={\frac {1}{1100}}{\text{A}}\\[6pt]i_{2}={\frac {4}{275}}{\text{A}}\\[6pt]i_{3}=-{\frac {3}{220}}{\text{A}}\end{cases}}}$$

電流i ₃は負の符号を持っています。これは、i ₃の想定された方向が誤っており、実際にはi _3はi ₃と表示された赤い矢印とは反対方向に流れていることを意味します。R ₃の電流は左から右へ流れます。

参照

• 二重性（電気回路）
• ファラデーの電磁誘導の法則
• 集中物質分野
• テルゲンの定理

脚注

1. オールドハム、カリル・T・スウェイン (2008). 『記述の教義：グスタフ・キルヒホフ、古典物理学、そして19世紀ドイツにおける「あらゆる科学の目的」』（博士号）カリフォルニア大学バークレー校. p. 52. 整理番号3331743.
2. リチャード・ファインマン、ロバート・レイトン、マシュー・サンズ（2013年9月）[1964年]。「第22章 交流回路」。ファインマン物理学講義。ファインマン物理学講義。第2巻（2013年オンライン版）。カリフォルニア工科大学。22–3 ：理想要素のネットワーク；キルヒホッフの法則。 2018年12月6日閲覧。
3. モリソン、ラルフ（1986年）『計測機器における接地とシールド技術』ワイリー・インターサイエンス社、ISBN 0471838055。

参考文献

• グラハム、ハワード、ジョンソン、マーティン（2002年）『高速信号伝播：高度な黒魔術』アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール出版、ISBN 0-13-084408-X。
• ポール、クレイトン・R. (2001). 『電気回路解析の基礎』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-37195-5。
• サーウェイ、レイモンド・A.; ジューエット、ジョン・W. (2004). 『科学者とエンジニアのための物理学』（第6版）. ブルックス/コール. ISBN 0-534-40842-7。
• ティプラー、ポール（2004年）『科学者とエンジニアのための物理学：電気、磁気、光、そして初等現代物理学』（第5版）WHフリーマン、ISBN 0-7167-0810-8。

外部リンク

• 電気回路のレッスン第1巻DC無料電子書籍と電気回路のレッスンシリーズの分圧回路とキルヒホッフの法則の章