クライン・ゴルドン方程式

クライン・ゴルドン方程式（クライン・フォック・ゴルドン方程式、またはクライン・ゴルドン・フォック方程式、以前の出版物ではシュレーディンガー・ゴルドン方程式）は、シュレーディンガー方程式に関連する相対論的波動方程式です。オスカー・クラインとウォルター・ゴードン（別名ウラジミール・フォック）にちなんで名付けられました。空間と時間において2次であり、明らかにローレンツ共変です。 相対論的エネルギー-運動量関係の微分方程式版です${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,}$

声明

クライン・ゴルドン方程式は様々な方法で表すことができます。方程式自体は通常、位置空間形式を参照し、分離された空間成分と時間成分で表すことも、それらを4元ベクトルに組み合わせて表すこともできます。場を運動量空間にフーリエ変換すると、解は通常、エネルギーと運動量が特殊相対論のエネルギー-運動量分散関係に従う平面波の重ね合わせで表されます。ここで、クライン・ゴルドン方程式は、2つの一般的な計量シグネチャ規則の両方に対して与えられます${\displaystyle \\left(\t,\mathbf {x}\\right)\}$ ${\displaystyle \x^{\mu}=\left(\c\t,\mathbf {x}\\right)~.}$ ${\displaystyle \\eta_{\mu\nu}={\text{diag}}\left(\\pm1,\mp1,\mp1,\mp1\\right)~.}$

メートル法の符号を持つ標準単位におけるクライン・ゴルドン方程式${\displaystyle \\eta_{\mu\nu}={\text{diag}}(\pm1,\mp1,\mp1,\mp1)\}$

	位置空間 ${\displaystyle \x^{\mu}=\left(\c\t,\mathbf {x}\\right)\}$	フーリエ変換 ${\displaystyle \ \omega ={\frac {\ E\ }{\hbar }},\quad \mathbf {k} ={\frac {\ \mathbf {p} \ }{\hbar }}\ }$	運動量空間 ${\displaystyle \ p^{\mu }=\left({\frac {\ E\ }{c}},\mathbf {p} \right)\ }$
分離された時間と空間	${\displaystyle \\left(\{\frac{1}{\c^{2}}}{\frac{\\partial^{2}}{\\partialt^{2}\}}-\nabla^{2}+{\frac{\m^{2}c^{2}\}{\hbar^{2}}}\\right)\\psi(\t,\mathbf{x}\)=0\}$	${\displaystyle \\psi (\t,\mathbf {x}\)=\int\left\{\\int e^{\mp i\left(\\omega t-\mathbf {k}\cdot\mathbf {x}\right)}~\psi (\\omega,\mathbf {k}\)\;{\frac {\\mathrm {d}^{3}k\}{~\left(2\pi\hbar\right)^{3}\}}\\right\}{\frac {\\mathrm {d}\omega\}{\2\pi\hbar\}}\}$	${\displaystyle \ E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}\ }$
4ベクトル形式	${\displaystyle \\left(\\Box +\mu^{2}\\right)\psi =0,\quad \mu ={\frac {\m\c\}{\hbar}}\}$	${\displaystyle \ \psi (\ x^{\mu }\ )=\int \ e^{-i\ p_{\mu }\ x^{\mu }/\hbar }\;\psi (\ p^{\mu }\ )\;{\frac {\ \mathrm {d} ^{4}p\ }{~\left(2\pi \hbar \right)^{4}\ }}\ }$	${\displaystyle \p^{\mu}\p_{\mu}=\pmm^{2}\c^{2}\}$

ここで、は波動演算子、はラプラス演算子です。光速とプランク定数は方程式を複雑にしがちなので、自然単位で表されることがよくあります${\displaystyle \ \Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\ }$ ${\displaystyle \nabla^{2}}$ ${\displaystyle \c\}$ ${\displaystyle \\hbar\}$ ${\displaystyle \c=\hbar=1.0}$

計量単位系による自然単位系でのクライン・ゴルドン方程式${\displaystyle \\eta_{\mu\nu}={\text{diag}}\left(\\pm1,\mp1,\mp1,\mp1\\right)\}$

	位置空間 ${\displaystyle \x^{\mu}=\left(\t,\mathbf {x} \\right)\}$	フーリエ変換 ${\displaystyle \ \omega =E,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p} \ }$	運動量空間 ${\displaystyle \ p^{\mu }=\left(\ E,\mathbf {p} \ \right)\ }$
分離された 時間と空間	${\displaystyle \\left(\\partial_{t}^{2}-\nabla^{2}+m^{2}\right)\\psi (\t,\mathbf{x}\)=0\}$	${\displaystyle \\psi (\t,\mathbf {x}\)=\int\left\{\\int e^{\mp i\\left(\\omega\t\-\\mathbf {k}\cdot\mathbf {x}\\right)}\;\psi (\\omega,\mathbf {k}\)\{\frac {\mathrm {d}^{3}k}{\\left(2\pi\right)^{3}}}\\right\}{\frac {\mathrm {d}\omega}{\2\pi\}}\}$	${\displaystyle \ E^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}\ }$
4ベクトル形式	${\displaystyle \ \left(\ \Box +m^{2}\ \right)\psi =0\ }$	${\displaystyle \ \psi (\ x^{\mu }\ )=\int e^{-i\ p_{\mu }x^{\mu }}\ \psi (\ p^{\mu }\ )\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{4}p\ }{\;\left(2\pi \right)^{4}\ }}\ }$	${\displaystyle \ p^{\mu }\ p_{\mu }=\pm m^{2}\ }$

シュレーディンガー方程式とは異なり、クライン・ゴルドン方程式は、各kに対して2つのωの値、つまり正と負の値を許容します。正と負の周波数部分を分離することによってのみ、相対論的な波動関数を記述する方程式が得られます。時間に依存しない場合、クライン・ゴルドン方程式は次のようになります

${\displaystyle \ \left[\ \nabla ^{2}-{\frac {\ m^{2}c^{2}}{\ \hbar ^{2}}}\ \right]\ \psi (\ \mathbf {r} \ )=0\ ,}$

これは形式的には同次遮蔽ポアソン方程式と同じである。さらに、クライン・ゴルドン方程式は次のようにも表される：^{[ 1 ]}

${\displaystyle \ {\hat {p}}^{\mu }\ {\hat {p}}_{\mu }\ \psi =m^{2}c^{2}\psi \ }$

ここで、運動量演算子は次のように与えられます。

${\displaystyle \ {\hat {p}}^{\mu }=i\hbar {\frac {\partial }{\ \partial x_{\mu }\ }}=i\hbar \left(\ {\frac {\partial }{\ \partial (ct)\ }},-{\frac {\partial }{\ \partial x\ }},-{\frac {\partial }{\ \partial y\ }},-{\frac {\partial }{\ \partial z\ }}\ \right)=\left(\ {\frac {\hat {E}}{c}},\mathbf {\hat {p}} \ \right)~.}$

関連性

この方程式は、まず量子化可能な古典的な連続スカラー場方程式として理解されるべきです。量子化プロセスは、スピンのない粒子である量子場を導入します。その理論的関連性はディラック方程式のそれと同様です。^{[ 2 ]} 方程式の解には、スカラー場または擬スカラー場が含まれます。素粒子物理学の領域では、電磁相互作用を取り入れることができ、スカラー電気力学のトピックを形成しますが、パイ中間子のような粒子に対する実用性は限られています。^{[注1 ] [ 3 ]}複素スカラー場に対するこの方程式の2番目のバージョンは理論的に重要であり、ヒッグス粒子の方程式です。凝縮物質の領域では、スピンのない準粒子の多くの近似に使用できます。^{[ 4 ] [ 5 ] [注2 ]}

この方程式はシュレーディンガー方程式の形にすることができる。この形式では、それぞれ時間に関して一次の結合した2つの微分方程式として表現される。^{[ 6 ]}解は2つの要素を持ち、相対論における電荷の自由度を反映している。^{[ 6 ] [ 7 ]}この方程式は保存量を許容するが、正定値ではない。したがって、波動関数は確率振幅として解釈することはできない。代わりに保存量は電荷として解釈され、波動関数のノルムの2乗は電荷密度として解釈される。この方程式は、正、負、ゼロの電荷を持つすべてのスピンレス粒子を記述する。

自由ディラック方程式の解は、その4つの成分それぞれについて、自由クライン＝ゴルドン方程式の解である。歴史的には単粒子方程式として考案されたクライン＝ゴルドン方程式は、一貫した量子相対論的一粒子理論の基礎を形成することはできない。いかなる相対論的理論も、あるエネルギー閾値を超えると粒子の生成と消滅を意味するからである。^{[ 8 ] [注3 ]}

自由粒子の解

ここで、自然単位のクライン・ゴルドン方程式（計量シグネチャ 付き）をフーリエ変換で解きます。フーリエ変換を挿入し、複素指数関数の直交性を使用すると、分散関係 が得られます。これにより、運動量がシェル 上にあるものに制限され、正と負のエネルギー解が得られます。新しい定数セット の場合、解は次のようになります。負のエネルギーを分離し、正の のみを扱うことで、正と負のエネルギー解を処理するのが一般的です。最後のステップで、の名前が変更されました。これで、デルタ関数から正の周波数部分のみをピックアップして、-積分を実行できます。 ${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi (x)=0}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ $${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)}$$ $${\displaystyle p^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}$$ $${\displaystyle p^{0}=\pm E(\mathbf {p} )\quad {\text{where}}\quad E(\mathbf {p} )={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.}$$ ${\displaystyle C(p)}$ $${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{ip\cdot x}C(p)\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2}).}$$ ${\displaystyle p^{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(p)e^{+ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(-p)e^{+ip^{0}x^{0}-ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\\rightarrow &\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle B(p)\rightarrow B(-p)}$ ${\displaystyle p^{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\delta (p^{0}-E(\mathbf {p} ))}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\&=\int \left.{\frac {\mathrm {d} ^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}+B(\mathbf {p} )e^{+ip\cdot x}\right)\right|_{p^{0}=+E(\mathbf {p} )}.\end{aligned}}}$$

これは一般に、自由クライン・ゴルドン方程式の一般解として扱われます。最初のフーリエ変換には のようなローレンツ不変量のみが含まれているため、最後の式もクライン・ゴルドン方程式のローレンツ不変解となることに注意してください。ローレンツ不変を必要としない場合は、 -因子を係数 と に吸収することができます。 ${\displaystyle p\cdot x=p_{\mu }x^{\mu }}$ ${\displaystyle 1/2E(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle A(p)}$ ${\displaystyle B(p)}$

歴史

この方程式は物理学者オスカー・クライン^{[ 9 ]}とウォルター・ゴードン^{[ 10 ]}にちなんで名付けられ、彼らは1926年にこの方程式が相対論的な電子を記述すると提案しました。ウラジミール・フォックも1926年にクラインの研究の少し後に独立にこの方程式を発見しており^{[ 11 ]}、クラインの論文は1926年4月28日、フォックの論文は1926年7月30日、ゴードンの論文は1926年9月29日に受理されています。同年に同様の主張をした他の著者には、ヨハン・クーダー、テオフィル・ド・ドンダーとフランス・H・ファン・デン・ダンゲン、ルイ・ド・ブロイなどがいます。電子のスピンをモデル化するにはディラック方程式が必要であることが判明しましたが、クライン・ゴードン方程式はパイオンのようなスピンのない相対論的複合粒子を正しく記述します。 2012年7月4日、欧州原子核研究機構（CERN）はヒッグス粒子の発見を発表しました。ヒッグス粒子はスピンゼロの粒子であるため、クライン＝ゴルドン方程式で記述される、観測された最初 の素粒子となります。観測されたヒッグス粒子が標準模型のヒッグス粒子なのか、それともより特異な、おそらく複合的な形態なの かを判断するには、さらなる実験と分析が必要です。

クライン・ゴルドン方程式は、エルヴィン・シュレーディンガーがド・ブロイ波を記述する方程式の探索において、量子波動方程式として初めて考察されました。この方程式は1925年後半の彼のノートに残されており、彼はそれを水素原子に適用する原稿を準備していたようです。しかし、この方程式は電子のスピンを考慮していないため、水素原子の微細構造を誤って予測し、分裂パターンの全体的な大きさを ⁠ 倍も過大評価しています。4 n/2 n − 1⁠ n番目のエネルギー準位に対して。しかし、軌道運動量量子数lを全角運動量量子数jに置き換えると、ディラック方程式の相対論的スペクトルは簡単に復元できる。 ^{[ 12 ]} 1926年1月、シュレーディンガーは代わりに、微細構造のない水素のボーアエネルギー準位を予測する非相対論的近似である方程式を出版のために提出した。

1926年、シュレーディンガー方程式が導入されて間もなく、ウラジミール・フォックは磁場の場合（力は速度に依存する）へのシュレーディンガー方程式の一般化に関する論文を執筆し、独立にこの方程式を導出した。クラインとフォックは共にテオドール・カルツァとクラインの方法を用いた。フォックはまた、波動方程式のゲージ理論を決定した。自由粒子に対するクライン・ゴルドン方程式は、単純な平面波解を持つ。

導出

自由粒子のエネルギーに関する非相対論的方程式は

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.}$

これを量子化すると、自由粒子に関する非相対論的シュレーディンガー方程式が得られます

${\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi ,}$

ここで

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$

は運動量演算子（∇はデルタ演算子）であり、

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

はエネルギー演算子です。

シュレーディンガー方程式は相対論的に不変ではないという欠点があり、それは特殊相対性理論と矛盾することを意味します。

エネルギーを記述する特殊相対性理論の恒等式を使用するのは自然なことです。

${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.}$

次に、運動量とエネルギーの量子力学演算子を挿入するだけで、次の式が得られます。

${\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\,\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}$

微分作用素の平方根はフーリエ変換を用いて定義できますが、空間と時間の微分が非対称であるため、ディラックは外部電磁場を相対論的に不変な方法で扱うことが不可能であることに気づきました。そこで彼は、電磁力の作用を記述するために修正可能な別の方程式を探しました。さらに、この方程式はそのままでは非局所的です（非局所方程式入門も参照）。

クラインとゴードンは、代わりに上記の恒等式の平方から始めました。

${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},}$

これを量子化すると、

${\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi ,}$

これは

${\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .}$

項を整理すると

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

この式から虚数への参照がすべて削除されているため、実数値の体だけでなく複素数値の体にも適用できます

最初の2項をミンコフスキー計量の逆関数diag(− c ² , 1, 1, 1)を使って書き直し、アインシュタインの総和規則を明示的に書き直すと、

${\displaystyle -\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi \equiv \sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{0}^{2}\psi -\sum _{\nu =1}^{3}\partial _{\nu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi .}$

このように、クライン・ゴルドン方程式は共変記法で書くことができる。これはしばしば次のような略記法を意味する。

${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}$

ここで

${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }},}$

と

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.}$

この演算子は波動演算子と呼ばれます

今日、この形式はスピン-0粒子に対する相対論的場の方程式として解釈されている。^{[ 6 ]} さらに、自由ディラック方程式（スピン1/2粒子の場合）の任意の解の任意の成分は、自動的に自由クライン・ゴルドン方程式の解となる。これは、バーグマン・ウィグナー方程式により、任意のスピンの粒子に一般化される。さらに、量子場の理論では、あらゆる量子場のあらゆる成分は自由クライン・ゴルドン方程式を満たさなければならないため、^{[ 13 ]}この方程式は量子場の一般的な表現となる。

ポテンシャルにおけるクライン・ゴルドン方程式

クライン・ゴルドン方程式は、あるポテンシャル内の場を記述するために一般化することができる^{[ 14 ]}${\displaystyle V(\psi )}$

${\displaystyle \Box \psi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}=0.}$

するとクライン・ゴルドン方程式が成り立ちます。 ${\displaystyle V(\psi )=M^{2}{\bar {\psi }}\psi }$

相互作用理論でよく使われるもう一つのポテンシャルの選択は、実スカラー場のポテンシャルである。${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}.}$

ヒッグスセクター

標準模型の純粋なヒッグス粒子セクターは、このセクションでは と表記されるポテンシャルを持つクライン・ゴルドン場によってモデル化されます。標準模型はゲージ理論であるため、この場はローレンツ群の下では自明に変換されますが、ゲージ群の一部の作用の下では 値ベクトルとして変換されます。したがって、ベクトル場であるにもかかわらず、スカラーはローレンツ群の下での変換（正式には表現）を記述するため、スカラー場と呼ばれます。これについては、以下のスカラー色力学のセクションでも説明します ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{2}}$

ヒッグス場はポテンシャルによってモデル化される

${\displaystyle V(H)=-m^{2}H^{\dagger }H+\lambda (H^{\dagger }H)^{2}}$ ,

これはポテンシャルの一般化と見ることができますが、重要な違いがあります。それは、極小円が存在することです。この観察は、標準模型における 自発的対称性の破れの理論において重要なものです${\displaystyle \phi ^{4}}$

保存されたU(1)カレント

複素場に対するクライン・ゴルドン方程式（および作用）は対称性を許容する。すなわち、変換の下で ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto e^{i\theta }\psi (x),}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\theta }{\bar {\psi }}(x),}$

クライン・ゴルドン方程式は不変であり、作用も同様である（下記参照）。この対称性に対応する場のノイマン定理により、次のように定義される 電流が存在する。${\displaystyle J^{\mu }}$

${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{2m}}\left(\,{\bar {\psi }}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}(x)\,\right).}$

これは保存方程式を満たす。 保存電流 の形は、ノイマンの定理を対称性に適用することで系統的に導くことができる。ここではその定理は用いないが、この電流が保存されることを簡単に検証する。 ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

共変記法とプラス符号 で書かれた、質量の複素場に対するクライン・ゴルドン方程式から、${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (\square +m^{2})\psi (x)=0}$

およびその複素共役

${\displaystyle (\square +m^{2}){\bar {\psi }}(x)=0.}$

それぞれ左側に、およびを掛け合わせると（簡潔にするため明示的な依存関係は省略）、 ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\square +m^{2})\psi =0,}$

${\displaystyle \psi (\square +m^{2}){\bar {\psi }}=0.}$

前者から後者を引くと、

${\displaystyle {\bar {\psi }}\square \psi -\psi \square {\bar {\psi }}=0,}$

または指数表記では、

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}=0.}$

これを現在の微分に適用すると、 ${\displaystyle J^{\mu }(x)\equiv \psi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }\psi ^{*}(x),}$

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$

この対称性は大域対称性ですが、ゲージ対称性を適用することで局所対称性、すなわちゲージ対称性も作り出すことができます。詳細は下記のスカラーQEDを参照してください。ゲージ対称性という名称はやや誤解を招くものです。ゲージ対称性は冗長性であり、大域対称性こそが真の対称性です。 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

ラグランジュ定式化

クライン・ゴルドン方程式は変分法によっても導出でき、作用のオイラー・ラグランジュ方程式として現れる

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-\hbar ^{2}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\,\partial _{\nu }\psi -M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,}$

自然単位では、符号がほとんどマイナスの場合、動作は単純な形をとる。

実スカラー場に対するクライン・ゴルドン作用

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right)}$

実質量スカラー場の場合、 ${\displaystyle m}$

複素スカラー場に対するクライン・ゴルドン作用

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(\partial ^{\mu }\psi \partial _{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)}$

質量の複素スカラー場の場合。 ${\displaystyle M}$

応力エネルギーテンソルの式をラグランジアン密度（積分内の量）に適用すると、スカラー場の応力エネルギーテンソルを導くことができる。それは

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\hbar ^{2}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\,\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi .}$

そして自然単位では、

${\displaystyle T^{\mu \nu }=2\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }(\partial ^{\rho }{\bar {\psi }}\partial _{\rho }\psi -M^{2}{\bar {\psi }}\psi )}$

時間-時間成分T ^{00 を}全空間にわたって積分することにより、正および負の周波数の平面波解は、いずれも正のエネルギーを持つ粒子に物理的に関連付けられることを示すことができる。これはディラック方程式とそのエネルギー-運動量テンソルには当てはまらない。^{[ 6 ]}

応力エネルギーテンソルは、クライン・ゴルドン方程式の時空変換不変性に対応する保存電流の集合である。したがって、各成分は保存され、すなわち となる（これはオンシェル、つまりクライン・ゴルドン方程式が満たされる場合にのみ成立する）。したがって、 の空間積分は各 について保存量となる。これらは、 についての全エネルギー、についての全運動量という物理的な解釈を持つ。 ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+c^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle T^{0\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \nu =i}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$

非相対論的極限

古典場

古典的なクライン・ゴルドン場ψ ( x , t )の非相対論的極限 ( v ≪ c ) をとるには、振動静止質量エネルギー項 を因数分解することから始まります

${\displaystyle \psi (\mathbb {x} ,t)=\phi (\mathbb {x} ,t)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\quad {\textrm {where}}\quad \phi (\mathbb {x} ,t)=u_{E}(x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}E't}.}$

非相対論的極限における運動エネルギーを定義すると、 ${\displaystyle E'=E-mc^{2}={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}-mc^{2}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle E'\ll mc^{2}}$ ${\displaystyle v=p/m\ll c}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=E'\phi \ll mc^{2}\phi \quad {\textrm {and}}\quad (i\hbar )^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=(E')^{2}\phi \ll (mc^{2})^{2}\phi .}$

これを適用すると、の2次時間微分の非相対論的極限が得られる。 ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi +{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi -{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

自由クライン・ゴルドン方程式に代入すると、次式が得られる。 ${\displaystyle c^{-2}\partial _{t}^{2}\psi =\nabla ^{2}\psi -({\frac {mc}{\hbar }})^{2}\psi }$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx \left(\nabla ^{2}-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

これは（指数項を割り算し、質量項を引くことで）次のように簡略化される。

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi .}$

これは古典的なシュレーディンガー場です。

量子場

量子クライン・ゴルドン場の類似の極限は、場の演算子の非可換性によって複雑になります。v ≪ cの極限では、生成演算子と消滅演算子は分離し、独立した量子シュレーディンガー場として振る舞います

スカラー電磁力学

複素クライン・ゴルドン場を電磁気学とゲージ不変に相互作用させる方法があります。（偏）微分をゲージ共変微分に置き換えることができます。局所ゲージ変換の下では、場は次のように変換されます ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi \mapsto \psi '=e^{i\theta (x)}\psi ,}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}'=e^{-i\theta (x)}{\bar {\psi }},}$

ここでは時空の関数であるため、局所的な変換となります。一方、時空全体にわたる定数は大域的な変換となります。微妙な点は、関数を定数関数とみなすと、大域的な変換が局所的な変換として現れる可能性があることです。 ${\displaystyle \theta (x)=\theta (t,{\textbf {x}})}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle \theta (x)}$

よく定式化された理論は、このような変換に対して不変であるべきである。正確には、これは運動方程式と作用方程式（下記参照）が不変であることを意味する。これを実現するには、通常の微分をゲージ共変微分に置き換える必要がある。ゲージ共変微分は次のように定義される 。${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$

${\displaystyle D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }){\bar {\psi }}}$

ここで4次元ポテンシャルまたはゲージ場はゲージ変換によって次のように 変換される。${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A'_{\mu }=A_{\mu }+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\theta }$ 。

これらの定義を用いると、共変微分は次のように変換されます。

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\theta }D_{\mu }\psi }$

したがって、自然単位では、クライン・ゴルドン方程式は次のようになります

${\displaystyle D_{\mu }D^{\mu }\psi -M^{2}\psi =0.}$

ゲージなし 対称性は複素クライン・ゴルドン理論にのみ存在するため、この結合とゲージ対称性への昇格は複素クライン・ゴルドン理論とのみ互換性があり、実クライン・ゴルドン理論とは互換性がありません。 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

自然単位とほとんどが負の符号で表すと、

スカラーQED作用

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,\left(-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+D^{\mu }\psi D_{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)}$

は、視点に応じてマクスウェルテンソル、場の強度、または曲率として知られています ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

この理論は、スカラー量子電磁力学またはスカラー QED としてよく知られていますが、ここで説明したすべての側面は古典的なものです。

スカラー色力学

これをゲージ群を持つ非アーベルゲージ理論に拡張することが可能であり、そこではスカラー・クライン＝ゴードン作用をヤン＝ミルズ・ラグランジアンに結合します。ここで、場は実際にはベクトル値ですが、依然としてスカラー場として記述されます。スカラーは時空変換による変換を記述しますが、ゲージ群の作用による変換は記述しません ${\displaystyle G}$

具体性を持たせるために、を、ある に対する特殊ユニタリ群と固定する。関数として記述できるゲージ変換のもとで、スカラー場はベクトル として変換される。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)\mapsto \psi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)}$ 。

共変微分は

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi -igA_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi ^{\dagger }=\partial _{\mu }\psi ^{\dagger }+ig\psi ^{\dagger }A_{\mu }^{\dagger }}$

ここでゲージ場または接続は次のように変換される。

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}\partial _{\mu }UU^{-1}.}$

このフィールドはベクトル空間に作用する行列値フィールドとして考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

最後に、色磁場の強度または曲率を定義する。

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+g(A_{\mu }A_{\nu }-A_{\nu }A_{\mu }),}$

アクションを定義できます。

スカラーQCD作用

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,\left(-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+D^{\mu }\psi ^{\dagger }D_{\mu }\psi -M^{2}\psi ^{\dagger }\psi \right)}$

曲がった時空におけるクライン＝ゴルドン

一般相対論では、偏微分を共変微分に置き換えることで重力の効果を考慮し、クライン＝ゴルドン方程式は（ほとんどがプラスの符号で）^{[ 15 ]となる}

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}$

または同等に、

${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}$

ここで、 g ^αβは重力ポテンシャル場である計量テンソルの逆数、 gは計量テンソルの行列式、 ∇ _μは共変微分、Γ ^σ _μνは重力力場であるクリストッフェル 記号です

自然単位では、これは

実スカラー場に対する曲がった時空上のクライン・ゴルドン方程式

${\displaystyle \nabla ^{a}\nabla _{a}\Phi -m^{2}\Phi =0}$

これは時空（ロレンツ）多様体上の作用定式化も許す。抽象添字表記と主に正符号を用いると、これは ${\displaystyle M}$

実スカラー場に対する曲がった時空上のクライン・ゴルドン作用

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {1}{2}}g^{ab}\nabla _{a}\Phi \nabla _{b}\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{2}\right)}$

または

複素スカラー場に対する曲がった時空上のクライン・ゴルドン作用

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-g^{ab}\nabla _{a}\Psi \nabla _{b}{\bar {\Psi }}-M^{2}\Psi {\bar {\Psi }}\right)}$

参照

• 場の量子論
• 四次相互作用
• 相対論的波動方程式
• ディラック方程式（スピン1/2）
• プロカアクション（スピン1）
• ラリタ・シュウィンガー方程式(スピン 3/2)
• スカラー場理論
• サイン・ゴードン方程式

備考

1. パイオンのような一般的なスピンレス粒子は不安定であり、強い相互作用も受ける（ハミルトニアンにおける未知の相互作用項を伴う）
2. サイン・ゴルドン方程式は積分可能な系の重要な例である。
3. 量子力学と特殊相対論を調和させるには、多粒子理論、ひいては量子場理論が必要であり、そこではクライン＝ゴルドン方程式が、すべての自由量子場の成分が従う方程式として再び現れる。 スティーブン・ワインバーグはこの点について指摘している。彼は、量子力学の現代的応用に関する完全な入門書の中で、相対論的波動力学の扱いを一切省略し、「量子力学に関する書籍で通常提示される方法は、非常に誤解を招くものであるように思われる」（『量子力学講義』の序文より。ディラック方程式の本来の形での扱いについて言及）。 一方、ウォルター・グライナーが理論物理学シリーズで行っているように、現代的解釈に至る前に、相対論的量子力学の歴史的発展と見解を詳細に説明している研究者もいる。その理由は、教育的観点からは、長い道のりを辿ることが非常に望ましい、あるいは必要でさえあるというものである。量子場の理論では、元の方程式の自由（非相互作用）版の解は依然として重要な役割を果たします。これらは、ヒルベルト空間（フォック空間）を構築し、波動関数の完全集合（ヒルベルト空間の全域集合）を用いて量子場を表現するために必要です。

注記

1. グライナー、ウォルター (2013年6月29日).相対論的量子力学：波動方程式. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-3-662-03425-5。
2. グロス1993
3. グライナー＆ミュラー 1994 .
4. Bandyopadhyay, AK; Ray, PC; Gopalan, Venkatraman (2006). 「強誘電体材料の動的研究のためのクライン・ゴルドン方程式へのアプローチ」 . Journal of Physics: Condensed Matter . 18 (16): 4093– 4099. doi : 10.1088/0953-8984/18/16/016 . PMID 21690761 . 
5. Varró, Sándor (2014). 「媒質中の電磁平面波と相互作用する荷電粒子のクライン・ゴルドン方程式の厳密解の新しいクラス」. Laser Physics Letters . 11 016001. arXiv : 1306.0097 . doi : 10.1088/1612-2011/11/1/016001 .
6. グライナー 2000、第1章。
7. フェシュバッハ＆ヴィラール 1958 .
8. Weinberg, Steven. 「第1章と第2章」場の量子論 I .
9. O. クライン, ZS. f. 物理学 37, 895, 1926
10. W. ゴードン, Z. 物理学, 40 (1926–1927) pp. 117–133
11. V. フォック, ZS. f. Phys.39, 226, 1926
12. Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1985). 『量子場の理論』 McGraw-Hill. pp.  73–74 . ISBNを参照 0-07-032071-3。式2.87は式2.86と同一ですが、lの代わりにjが使用されています
13. ワインバーグ 2002、第5章。
14. Tong, David (2006). 「場の量子論に関する講義、講義1、セクション1.1.1」 . 2012年1月16日閲覧。
15. Fulling, SA (1996). 『曲がった時空における量子場理論の諸相』ケンブリッジ大学出版局. p. 117. ISBN 0-07-066353-X。

参考文献

• ダヴィドフ, AS (1976).量子力学 第2版.ペルガモン出版. ISBN 0-08-020437-6。
• フェシュバッハ, H.; ヴィラール, F. (1958). 「スピン0およびスピン1/2粒子の初等的相対論的波動力学」Reviews of Modern Physics . 30 (1): 24– 45.書誌コード: 1958RvMP...30...24F . doi : 10.1103/ RevModPhys.30.24
• ウォルター・ゴードン（1926年）。 「シュレディンガーシェン理論のコンプトネフェクト・ナッハ」。物理学の時代。40 ( 1–2 ): 117。Bibcode : 1926ZPhy...40..117G。土井：10.1007/BF01390840。S2CID  122254400。
• Greiner, W. (2000).相対論的量子力学. 波動方程式（第3版）. Springer Verlag . ISBN 3-5406-74578。
• グライナー、W.; ミュラー、B. (1994).量子力学：対称性（第2版）. シュプリンガー. ISBN 978-3-540-58080-5。
• グロス、F. (1993).相対論的量子力学と場の理論（第1版）. Wiley-VCH . ISBN 978-0-471-59113-9。
• クライン、O. (1926). 「量子理論と多次元相対論」. Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895.書誌コード: 1926ZPhy...37..895K . doi : 10.1007/ BF01397481
• 桜井, JJ (1967). 『量子力学の発展』 .アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-06710-2。
• ワインバーグ, S. (2002). 『場の量子論』第1巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-55001-7。

外部リンク

• 「クライン・ゴルドン方程式」『数学百科事典』EMS Press、2001年 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W. 「クライン・ゴードン方程式」。マスワールド。
• EqWorld の線形クラインとゴルドン方程式: 数式の世界。
• EqWorld の非線形 Klein–Gordon 方程式: 数式の世界。
• 非局所方程式の入門。