可逆拡散

数学において、可逆拡散は可逆確率過程の具体例です。可逆拡散は、ロシアの数学者アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフによって巧みに特徴づけられました。

コルモゴロフによる可逆拡散の特徴づけ

Bをd次元標準ブラウン運動とし、b  :  R ^d  →  R ^{d を}リプシッツ連続ベクトル場とする。X  : [0, +∞) × Ω →  R ^dを確率空間(Ω, Σ,  P )上で定義される伊藤拡散関数とし、 二乗積分可能な初期条件を持つ伊藤確率微分方程式、すなわちX ₀  ∈  L ² (Ω, Σ,  P ;  R ^d ) を解くものとする。このとき、以下は同値である。 $${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\mathrm {d} B_{t}}$$

• プロセスXは、 R ^d上の定常分布μで可逆的です。
• スカラーポテンシャルΦ :  R ^d  →  Rが存在し、b  = −∇Φ、μはラドン・ニコディム微分を 持ち、$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu (x)}{\mathrm {d} x}}=\exp \left(-2\Phi (x)\right)}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\exp \left(-2\Phi (x)\right)\,\mathrm {d} x=1.}$$

（もちろん、bがΦの勾配の負数であるという条件は、加法定数までのΦのみを決定します。この定数は、exp(−2Φ(·))が積分1を持つ確率密度関数になるように選択できます。）

参考文献

• ヴォス、ヨッヘン (2004)。拡散プロセスでは、いくつかの大きな偏差が生じます(論文)。カイザースラウテルン大学: 博士論文。（定理1.4参照）