コルモゴロフ人口モデル

アンドレイ・コルモゴロフ

生物数学において、コルモゴロフ個体群モデル（個体群動態におけるコルモゴロフ方程式とも呼ばれる）は、ソビエトの数学者アンドレイ・コルモゴロフによって1936年に開発された数学的枠組みであり、捕食者と被食者の相互作用と個体群動態を一般化している。このモデルは、より現実的な生物学的仮定を取り入れ、個体群動態の定性的な分析を提供することで、以前の捕食者と被食者のモデル、特にロトカ・ヴォルテラ方程式を改良したものである。 ^[1]

歴史

コルモゴロフ個体群モデルの開発は、コルモゴロフが学生時代に生物学に興味を持ったことに影響を受けました。コルモゴロフは主に確率論と情報理論への貢献で知られていますが、生物数学にも大きな貢献をしています。^[2]このモデルは特に、第一次世界大戦中のアドリア海の魚類の個体群観察に基づいて捕食者と被食者の関係式を考案したイタリアの 物理学者 ヴィト・ヴォルテラの研究に触発されました。ヴォルテラの研究は、戦時中に軍事活動によって漁獲量が減少すると、捕食魚の割合が増加し、被食魚の割合が減少することを示しました。^[3]

意味

コルモゴロフ人口モデルは微分方程式の系として表現される。

${\displaystyle {\dot {x}}=xS(x,y)}$

${\displaystyle {\dot {y}}=yW(x,y)}$

ここで、は被捕食者の個体数、は捕食者の個体数、そしてはそれぞれの個体数の成長率を表す連続微分可能な関数です。個体数の変化率は捕食者の数が増加するにつれて減少します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial y}}<0\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial W}{\partial y}}<0}$ 。

システムは、獲物が孤立して存在する場合、捕食者の侵入を許容しなければならない。つまり、 であり、ここで は獲物集団の収容力を表す。 ^[4]${\displaystyle W(K,0)>0}$ ${\displaystyle K}$

アプリケーション

コルモゴロフモデルは、被食者個体群に自己制限的な成長を課すことでヴォルテラ方程式の限界に対処し、非現実的な指数関数的成長シナリオを阻止する。また、相互作用項の明示的な関数形を必要とせずに、捕食者-被食者システムの質的挙動を予測するモデルも提供する。 ^[5] このモデルの理論生態学への貢献はすぐには認識されず、1960年代にアメリカの生態学者 マイケル・ローゼンツヴァイクとロバート・H・マッカーサーの研究によって初めて大きな評価を得た。彼らの研究は、このモデルを用いて生態系における非一過性の振動や、捕食者-被食者相互作用の局所的安定性の条件を理解できることを示した。^[6]

最近の研究では、コルモゴロフ系は奇妙なアトラクターや堅牢な永続的なサブシステムの存在など、複雑な挙動を示す可能性があることが示されており、決定論的な捕食者と被食者の相互作用でさえ予測不可能な長期的なダイナミクスにつながる可能性があることを示唆しています。^[7]

参照

• 数理生物学
• 捕食者と被食者の相互作用

参考文献

1. カール、シグムント (2007)。 「コルモゴロフと人口動態」。ジョルナーレ・イスティトゥート・イタル。アツアリ。7：74～ 80。
2. Kolmogorov, AN (2000). Kolmogorov in Perspective . American Math. Soc.
3. キングスランド、S. (1985). 『モデリング・ネイチャー：個体群生態学の歴史におけるエピソード』シカゴ大学出版局.
4. Freedman, H. (1980). 「個体群生態学における決定論的数理モデル」. Marcel Dekker .
5. Holling, CS (1965). 「捕食者の被食者密度に対する機能的反応と擬態および個体群制御における役割」Mem. Ent. Soc. Can . 6 : 1– 60.
6. Rosenzweig, ML; MacArthur, RH (1963). 「捕食者と被食者の相互作用のグラフ表示と安定条件」. American Naturalist . 97 (895): 209– 223. Bibcode :1963ANat...97..209R. doi :10.1086/282272.
7. ホフバウアー, ヨゼフ; シュライバー, セバスチャン J (2004-07-01). 「持続するか、持続しないか？」.非線形性. 17 (4): 1393– 1406. Bibcode :2004Nonli..17.1393H. doi :10.1088/0951-7715/17/4/014. ISSN  0951-7715.