コストカ数

形状と重量の3つの準標準ヤング表。これらはコストカ数で数えられます。${\displaystyle \lambda =(3,2)}$ ${\displaystyle \mu =(1,1,2,1)}$ ${\displaystyle K_{\lambda \mu }=3}$

数学において、コストカ数 （ Kostka number ）は、2つの整数分割とに依存する非負整数であり、形状と重さの半標準ヤング表の数に等しい。コストカ数は、数学者カール・コストカが対称関数の研究（Kostka (1882) ）において導入した。^{[ 1 ]}${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \mu}$

例えば、 かつ の場合、コストカ数は、1行目に3、2行目に2が入った左揃えの箱の集合に、1を1つ、2を1つ、3を2つ、4を1つ入れ、列方向に増加し行方向に減少しないようにする方法の数を数えます。このような3つの表は右に示され、 および です。 ${\displaystyle \lambda =(3,2)}$ ${\displaystyle \mu =(1,1,2,1)}$ ${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle K_{(3,2)(1,1,2,1)}=3}$

例と特殊なケース

任意の分割 について、コストカ数は1 に等しくなります。形状 のヤング図を1 のコピー、 2 のコピー、などを使用して埋める唯一の方法は、結果として得られるタブローが行に沿って弱増加し、列に沿って厳密に増加するようにするには、すべての 1 を 1 行目に配置し、すべての 2 を 2 行目に配置する、などとすることです。(このタブローは、形状 の山之内タブローと呼ばれることもあります。) ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle K_{\lambda \lambda}}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{m})}$ ${\displaystyle \lambda_{1}}$ ${\displaystyle \lambda_{2}}$ ${\displaystyle \lambda}$

コストカ数が正である（つまり、形状と重さの半標準ヤング表が存在する）のは、と が両方とも同じ整数の分割であり、 が優勢順序よりも大きい場合のみである。^{[ 2 ]}${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \mu}$

一般に、コストカ数に関する適切な公式は知られていません。しかし、いくつかの特殊なケースが知られています。例えば、がすべての部分が1である分割である場合、重さ の半標準ヤング盤は標準ヤング盤です。与えられた形状の標準ヤング盤の数は、フックの長さの公式によって与えられます。 ${\displaystyle \mu =(1,1,\dotsc ,1)}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \lambda}$

プロパティ

コストカ数の重要な単純な性質は、が の要素の順序に依存しないことである。例えば、 である。これは定義からすぐには明らかではないが、 と の形状と重みの半標準ヤング表の集合の間に一対一の関係を確立することで示せる。ここで、 と は2つの要素を入れ替えることによってのみ異なる。^{[ 3 ]}${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle K_{(3,2)(1,1,2,1)}=K_{(3,2)(1,1,1,2)}}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \mu ^{\prime }}$

コストカ数、対称関数、表現論

上記の純粋に組み合わせ的な定義に加えて、シュアー多項式を単項式対称関数の線形結合として表現するときに生じる係数として定義することもできます。 ${\displaystyle s_{\lambda}}$ ${\displaystyle m_{\mu}}$

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu },}$

ここで、とはどちらも の分割である。あるいは、シュアー多項式は次のよう にも表される^{[ 4 ]。}${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle s_{\lambda}=\sum _{\alpha}K_{\lambda \alpha}x^{\alpha},}$

ここで、和はのすべての弱合成 にわたってであり、単項式 を表します。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{\alpha}}$ ${\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\dotsc x_{n}^{\alpha _{n}}}$

対称群 の表現のレベルでは、コストカ数はの分割である既約表現を用いて置換モジュールの 分解を表現する。${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle M_{\mu}}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle M_{\mu }=\bigoplus _{\lambda }K_{\lambda \mu }V_{\lambda }.}$

一般線型群 の表現レベルでは、コストカ数は、ユニタリ既約表現（最大で 個の部分と個の部分を持つことが求められる） におけるに対応する重み空間の次元も数える。${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle d}$

例

サイズが最大 3 のパーティションの Kostka 数は次のとおりです。

${\displaystyle K_{\varnothing \varnothing }=1,}$

${\displaystyle K_{(1)(1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(2)(2)}=K_{(2)(1,1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(1,1)(2)}=0,\,K_{(1,1)(1,1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(3)(3)}=K_{(3)(2,1)}=K_{(3)(1,1,1)}=1,}$

${\displaystyle K_{(2,1)(3)}=0,\,K_{(2,1)(2,1)}=1,\,K_{(2,1)(1,1,1)}=2,}$

${\displaystyle K_{(1,1,1)(3)}=K_{(1,1,1)(2,1)}=0,\,K_{(1,1,1)(1,1,1)}=1.}$

これらの値は、単項式対称関数によるシュアー関数の展開における係数とまったく同じです。

${\displaystyle s_{\varnothing }=m_{\varnothing }=1}$

${\displaystyle s_{(1)}=m_{(1)}}$

${\displaystyle s_{(2)}=m_{(2)}+m_{(1,1)}}$

${\displaystyle s_{(1,1)}=m_{(1,1)}}$

${\displaystyle s_{(3)}=m_{(3)}+m_{(2,1)}+m_{(1,1,1)}}$

${\displaystyle s_{(2,1)}=m_{(2,1)}+2m_{(1,1,1)}}$

${\displaystyle s_{(1,1,1)}=m_{(1,1,1)}}$

Kostka (1882、118-120ページ) は、8 までの数の分割についてこれらの数の表を示しました。

一般化

コストカ数は、1変数または2変数のコストカ多項式の特別な値です。

${\displaystyle K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).}$

注記

1. スタンレー『列挙的組合せ論』第2巻、398ページ。
2. スタンレー『列挙的組合せ論』第2巻、315ページ。
3. スタンレー『列挙的組合せ論』第2巻、311ページ。
4. スタンレー『列挙的組合せ論』第2巻、311ページ。

参考文献

• スタンリー、リチャード（1999）、列挙的組合せ論、第2巻、ケンブリッジ大学出版局
• Kostka, C. (1882)、「Über den Zusammenhang zwischen einigen Formen von symmetrischen Funktionen」、Crelle's Journal、93 : 89–123、doi : 10.1515/crll.1882.93.89
• マクドナルド、IG（1995）、対称関数とホール多項式、オックスフォード数学モノグラフ（第2版）、クラレンドンプレスオックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853489-1, MR  1354144 , 2012年12月11日アーカイブ
• セーガン、ブルース・E. (2001) [1994]、「代数的組合せ論におけるシューア関数」、数学百科事典、EMSプレス