コーザイ機構

天体力学 において、コザイ機構は、ある条件下で遠方の第三の天体によって摂動を受けた連星系の軌道に影響を及ぼす力学現象である。この機構は、ツァイペル・コザイ・リドフ、リドフ・コザイ、コザイ・リドフなどとも呼ばれ、効果、振動、周期、共鳴などと呼ばれることもある。この効果により、軌道の近点引数が一定値を中心に振動し、その結果、軌道の離心率と傾斜角が周期的に入れ替わる。このプロセスは、軌道周期よりもはるかに長い時間スケールで発生する。この効果により、当初は円軌道であった軌道の離心率が任意の大きさに上昇したり、当初は中程度に傾斜していた軌道の順行運動と逆行運動の間で反転したりすることができる。

この効果は、惑星の不規則衛星、太陽系外天体、太陽系外惑星、多重星系の軌道を形作る重要な要素であることがわかっている。[ 1 ] :v 仮説的にブラックホールの合体を促進する。[ 2 ]これは、1961年にミハイル・リドフが惑星の人工衛星と自然衛星の軌道を解析しているときに記述された。[ 3 ] 1962年に古在義秀が木星によって摂動を受けた小惑星の軌道に当てはめて同じ結果を発表した。[ 4 ]古在とリドフの論文の引用数は21世紀に急増した。2017年現在、このメカニズムは最も研究されている天体物理現象の1つである。[ 1 ] : vi 2019年に伊藤隆と大塚克人によって、スウェーデンの天文学者エドヴァルド・フーゴ・フォン・ツァ​​イペルも1909年にこのメカニズムを研究していたことが指摘され、現在では彼の名前が付け加えられることもある。[ 5 ]

背景

ハミルトン力学

ハミルトン力学では、物理系はハミルトニアンと呼ばれる関数（と表記）によって規定されます。この関数は位相空間における正準座標です。正準座標は、配置空間における一般化座標と、それらの共役運動量（、 、 ）で構成されます（フォン・ツァ​​イペル・コザイ・リドフ効果の場合）。与えられた系を記述するために必要なペアの数は、その自由度の数です。 H{\displaystyle {\mathcal {H}}}×け{\displaystyle x_{k}}pけ{\displaystyle p_{k}}け＝1、。。。北{\displaystyle k=1,...N}北＝3{\displaystyle N=3}（×け、pけ）{\displaystyle (x_{k},p_{k})}

座標対は通常、特定の問題を解くための計算を簡素化するように選択される。ある正準座標は、正準変換によって別の座標に変換することができる。系の運動方程式は、座標の時間微分とハミルトニアンの共役運動量に関する偏微分を関連付けるハミルトン の正準方程式を通してハミルトニアンから得られる。

三体問題

相互の重力作用下にある3体からなる系のダイナミクスはカオス的であり、長期間にわたる挙動は初期条件のわずかな変化に非常に敏感である。そのため、初期条件の決定、そしてコンピュータ演算における丸め込みの回避における不確実性によって、計算は急速に劣化する可能性がある。実際的な結果として、3体問題は特殊な場合を除いて、無限時間にわたって解析的に解くことはできない。[ 6 ]：221 代わりに、利用可能な精度によって制限される予測時間には数値的手法が用いられる。 [ 7 ]：2, 10

リドフ・コザイ機構は、階層的三体系[ 8 ] :86 の特徴である。階層的三体系とは、「摂動体」と呼ばれる天体の1つが、他の2つ（内側連星を構成すると言われる）から遠く離れた位置にある系である。摂動体と内側連星の質量中心は、外側連星を構成する。[ 9 ] :§I このような系は、摂動論の手法を用いて、階層的三体系のハミルトニアンを、内側連星と外側連星の孤立した発展を担う2つの項と、 2つの軌道を結合する3つ目の項の和として表すことで研究されることが多い。 [ 9 ]

H＝H私n+Hoあなたt+Hpert。{\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\rm {in}}+{\mathcal {H}}_{\rm {out}}+{\mathcal {H}}_{\rm {pert}}.}

結合項は、内側の連星と外側の連星の長半径の比として定義されるパラメータ のオーダーで展開され、したがって階層的システムでは小さくなります。 [ 9 ]摂動級数は急速に収束するため、階層的3体系の質的挙動は、展開における初期項、つまり四重極 （）、八重極（） 、および十六重極（）オーダー項によって決定されます。[ 10 ]：4–5 α{\displaystyle \alpha}∝α2{\displaystyle \propto \alpha ^{2}}∝α3{\displaystyle \propto \alpha ^{3}}∝α4{\displaystyle \propto \alpha ^{4}}

Hpert＝Hqあなた1つのd+Hoct+Hhe×+お（α5）。{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {pert}}={\mathcal {H}}_{\rm {quad}}+{\mathcal {H}}_{\rm {oct}}+{\mathcal {H}}_{\rm {hex}}+O(\alpha ^{5}).}

多くの系では、摂動展開における最低の四重極次数において既に満足のいく記述が見出されている。八重極項は特定の領域で支配的となり、リドフ・コザイ振動の振幅の長期変動の原因となる。[ 11 ]

世俗近似

リドフ・コザイ機構は永年効果であり、つまり、内側の連星と外側の連星の軌道周期よりもはるかに長い時間スケールで発生します。問題を単純化し、計算をより扱いやすくするために、階層的三体ハミルトニアンを世俗化、つまり2つの軌道の急速に変化する平均異常値にわたって平均化することができます。このプロセスにより、問題は相互作用する2つの大質量ワイヤーループの問題に帰着します。[ 10 ] : 4

メカニズムの概要

テスト粒子限界

フォン・ツァ​​イペル・リドフ・コザイ機構の最も単純な扱いは、連星系を構成する天体の一つである副天体がテスト粒子、すなわち他の二つの天体（主天体と遠方の摂動天体）と比較して質量が無視できる理想的な点状天体であると仮定するものである。これらの仮定は、例えば、地球低軌道を周回する人工衛星が月によって摂動を受ける場合や、短周期彗星が木星によって摂動を受ける場合に有効である。

ケプラーの軌道要素。

これらの近似の下では、副天体の軌道平均運動方程式は保存量を持つ。これは、副天体の軌道角運動量の、主天体／摂動天体の軌道角運動量に平行な成分である。この保存量は、副天体の離心率eと外側の連星面に対する 傾斜角iで表すことができる。

Lz＝1−e2コス⁡私＝const1つのnt{\displaystyle L_{\mathrm {z} }={\sqrt {1-e^{2}\;}}\,\cos i=\mathrm {定数} }

L zの保存則は、軌道離心率と軌道傾斜角を「交換」できることを意味します。したがって、ほぼ円形で軌道傾斜角の大きい軌道は、非常に離心率が高くなる可能性があります。長半径を一定に保ちながら離心率を増加させると、近点における天体間の距離が減少するため、このメカニズムによって（木星の摂動を受けた）彗星が太陽に接近する状態になる可能性があります。

L z がある値より低い場合、リドフ・コザイ振動が発生します。L zの臨界値では、「固定点」軌道が現れ、その傾斜角は次のように表されます 。

私cr私t＝アルコス⁡（35）≈39.2o{\displaystyle i_{\mathrm {crit} }=\arccos \left({\sqrt {{\frac {3}{5}}\,}}\,\right)\approx 39.2^{\mathsf {o}}}

この臨界値より小さいL zの値では、同じL zを持ちながらeまたはiの変化量が異なる1パラメータ軌道解の族が存在する。注目すべきことに、 iの変化量は質量とは無関係であり、質量は振動の時間スケールを決定するだけである。[ 12 ]

タイムスケール

コーザイ振動に関連する基本的な時間スケールは以下のとおりである: [ 12 ] : 575

TKoz1つの私＝2πGMGメートル21つの231つの3/2（1−e22）3/2＝Mメートル2P22P（1−e22）3/2{\displaystyle T_{\mathrm {Kozai} }=2\pi \,{\frac {\,{\sqrt {G\,M\;}}\,}{G\,m_{2}}}\,{\frac {\,a_{2}^{3}\,}{a^{3/2}}}\left(1-e_{2}^{2}\right)^{3/2}={\frac {M}{m_{2}}}{\frac {\,P_{2}^{2}\,}{P}}\,\left(1-e_{2}^{2}\right)^{3/2}}

ここで、aは軌道長半径、Pは軌道周期、eは離心率、mは質量です。添え字「2」の付いた変数は外側（摂動側）の軌道、添え字のない変数は内側の軌道を表します。Mは主星の質量です。例えば、月の周期が27.3日、離心率が0.055、GPS衛星の周期が半日（恒星日）の場合、Kozaiタイムスケールは4年強となります。静止軌道の場合は、その半分の短さになります。

3 つの変数 ( e、i、ω、最後の ω は近点引数)の振動周期はすべて同じですが、軌道が固定点軌道からどれだけ「離れているか」によって異なり、振動軌道と振動軌道を分ける 分離線軌道では非常に長くなります。

天体物理学的影響

太陽系

フォン・ツァ​​イペル・リドフ・コザイ機構は、近点引数（ω）を約90°または270°振れさせる。つまり、天体が赤道面から最も離れたときに近点となる。この効果は、冥王星が海王星との接近から力学的に保護されている理由の一つである。

リドフ・コザイ機構は、系内で可能な軌道に制限を課します。例えば、

通常の衛星の場合
惑星の衛星の軌道が惑星の軌道に対して大きく傾いている場合、衛星の軌道の離心率は増大し、最接近時には衛星が潮汐力によって破壊されることになります。
不規則衛星の場合
離心率の増大は、通常の衛星や惑星との衝突につながるか、あるいは遠心率の増大によって衛星がヒル球の外へ押し出される可能性があります。最近、ヒル安定半径が衛星の傾斜角の関数として発見され、不規則な衛星の傾斜角の不均一な分布も説明できるようになりました。[ 13 ]

このメカニズムは、海王星の軌道をはるかに超えて太陽を周回する仮想惑星である第9惑星の探索に利用されてきた。 [ 14 ]

木星のカルポとエウポリエ[ 15 ]、土星のキビウクとイジラク[ 1 ]、天王星のマーガレット[ 16 ] 、 海王星のサオとネソ[ 17 ]など、多くの衛星が惑星とリドフ・コザイ共鳴関係にあることが発見されています。

いくつかの資料によると、ソ連の宇宙探査機ルナ3号は、リドフ・コザイ振動を起こした人工衛星の最初の例である。1959年に打ち上げられ、大きく傾斜した偏心した地球中心軌道に投入されたこの探査機は、月の裏側を撮影した最初のミッションとなった。11周した後、地球の大気圏で燃え尽きた[ 1 ]。9–10 しかし、Gkoliasら（2016）によると、地球の扁平化の影響によってリドフ・コザイ振動が阻害されたと考えられるため、探査機の軌道の減衰は別のメカニズムによって引き起こされたに違いないという。[ 18 ]

太陽系外惑星

フォン・ツァ​​イペル・リドフ・コザイ機構は、潮汐摩擦と組み合わさって、緊密な軌道で主星を周回する巨大ガス惑星であるホット・ジュピターを生成することができる。 [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] HD 80606/80607システムの惑星HD 80606 bの高い離心率は、コザイ機構によるものである可能性が高い。[ 23 ] KELT-19 Ab は、軌道が反転した状態での惑星の軌道軸と恒星の自転軸の原始的な不整合により、コザイ機構の証拠を有する可能性が高い。 [ 24 ]

ブラックホール

このメカニズムは、高密度星団の中心ブラックホールの成長に影響を与えると考えられています。また、特定の種類の連星ブラックホールの進化を促し[ 9 ] 、ブラックホールの合体を可能にする役割を果たしている可能性があります[ 25 ]。

歴史と発展

この効果は、1909年にスウェーデンの天文学者フーゴ・フォン・ツァ​​イペルが『天文ニュース』誌に掲載した周期彗星の運動に関する論文の中で初めて記述されました。[ 26 ] [ 5 ] 1961年、ソ連の宇宙科学者ミハイル・リドフが、惑星の人工衛星と自然衛星の軌道を解析している際にこの効果を発見しました。この研究は当初ロシア語で発表され、1962年に英語に翻訳されました。[ 3 ] [ 27 ] : 88

リドフは1961年11月20日から25日にモスクワで開催された理論天文学の一般および応用問題に関する会議で、人工衛星の軌道に関する研究を初めて発表した。 [ 28 ]彼の論文は1961年にロシア語の雑誌に初めて掲載された。[ 3 ]日本の天文学者古在義秀は1961年の会議参加者の一人だった。[ 28 ]古在は1962年に広く読まれている英語の雑誌に同じ結果を発表し、その結果を使って木星によって摂動を受けた小惑星の軌道を分析した。[ 4 ]リドフが最初に発表したため、多くの著者がリドフ–古在機構という用語を使用している。しかし、それを古在–リドフまたは単に古在機構と呼ぶ人もいる。

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