クラマースの定理

量子力学において、クラマースの定理、あるいはクラマースの縮退定理は、半整数スピンを持つ時間反転対称系のあらゆるエネルギー固有状態に対し、時間反転によって関連付けられた同じエネルギーを持つ別の固有状態が存在することを述べています。言い換えれば、半整数スピンを持つあらゆるエネルギー準位の縮退は偶数です。この定理は、オランダの物理学者H・A・クラマースにちなんで名付けられました。

理論物理学において、時間反転対称性は、時間反転変換における物理法則の対称性である。

T:t↦−t。{\displaystyle T:t\mapsto -t.}

ハミルトニアン演算子が時間反転演算子と交換する 場合、

[H、T]＝0、{\displaystyle [H,T]=0,}

すると、あらゆるエネルギー固有状態に対して、時間反転状態もまた同じエネルギーを持つ固有状態となる。これらの2つの状態は、クラマース対と呼ばれることもある。[ 1 ]一般に、この時間反転状態は元の状態と同一である可能性があるが、半整数スピン系ではそれは不可能である。時間反転はすべての角運動量を反転させるため、半整数スピンを反転させても同じ状態は得られない（磁気量子数は決してゼロにならない）。 |n⟩{\displaystyle |n\rangle }T|n⟩{\displaystyle T|n\rangle }

数学的な記述と証明

量子力学において、時間反転操作はヒルベルト空間に作用する反ユニタリー演算子によって表されます。 となる場合、次の単純な定理が成り立ちます。 T:H→H{\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}H{\textstyle {\mathcal {H}}}T2=−1{\textstyle T^{2}=-1}

がを満たすヒルベルト空間に作用する反ユニタリー演算子であり、内のベクトルである場合、 はに直交します。 T:H→H{\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}H{\textstyle {\mathcal {H}}}T2=−1{\textstyle T^{2}=-1}v{\textstyle v}H{\textstyle {\mathcal {H}}}Tv{\textstyle Tv}v{\textstyle v}

証拠

反ユニタリー演算子の定義により、 となります。ここで、 と はのベクトルです。 と を置き換え、を使用するととなり、 となります。 ⟨Tu,Tw⟩=⟨w,u⟩{\textstyle \langle Tu,Tw\rangle =\langle w,u\rangle }u{\textstyle u}w{\textstyle w}H{\textstyle {\mathcal {H}}}u=Tv{\textstyle u=Tv}w=v{\textstyle w=v}T2=−1{\textstyle T^{2}=-1}⟨T2v,Tv⟩=−⟨v,Tv⟩=⟨v,Tv⟩{\textstyle \langle T^{2}v,Tv\rangle =-\langle v,Tv\rangle =\langle v,Tv\rangle }⟨v,Tv⟩=0{\textstyle \langle v,Tv\rangle =0}

その結果、ハミルトニアンが 時間反転対称、すなわち と可換であるならば、そのすべてのエネルギー固有空間は偶退化を持つ。なぜなら、任意のエネルギー固有状態に適用すると、最初の固有状態と直交する別のエネルギー固有状態が得られるからである。この直交性は重要であり、2つの固有状態とが異なる物理状態を表すことを意味する。もし逆に、それらが同じ物理状態であれば、角度 に対して、つまり H{\textstyle H}T,{\textstyle T,}T{\textstyle T}|n⟩{\textstyle |n\rangle }T|n⟩{\textstyle T|n\rangle }|n⟩{\textstyle |n\rangle }T|n⟩{\textstyle T|n\rangle }T|n⟩=eiα|n⟩{\displaystyle T|n\rangle =e^{i\alpha }|n\rangle }α∈R{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }

T2|n⟩=T(eiα|n⟩)=e−iαeiα|n⟩=|n⟩{\displaystyle T^{2}|n\rangle =T(e^{i\alpha }|n\rangle )=e^{-i\alpha }e^{i\alpha }|n\rangle =|n\rangle }

クラマースの退化定理を完成するには、半奇整数スピンヒルベルト空間に作用する時間反転演算子が を満たすことを証明するだけでよい。これは、スピン演算子が一種の角運動量を表し、したがって の条件で方向が反転するはずであるという事実から導かれる。 T{\textstyle T}T2=−1{\textstyle T^{2}=-1}S{\textstyle \mathbf {S} }T{\displaystyle T}

S→T−1ST=−S.{\displaystyle \mathbf {S} \to T^{-1}\mathbf {S} T=-\mathbf {S} .}

具体的には、この性質を持つ 演算子は通常次のように記述されます。T{\textstyle T}

T=e−iπSyK{\displaystyle T=e^{-i\pi S_{y}}K}

ここでは方向のスピン演算子であり、はスピン基底における複素共役写像である。[ 2 ]Sy{\textstyle S_{y}}y{\textstyle y}K{\textstyle K}Sz{\textstyle S_{z}}

は基底に実行列成分を持つので、 iSy{\textstyle iS_{y}}Sz{\displaystyle S_{z}}

T2=e−iπSyKe−iπSyK=e−i2πSyK2=(−1)2S.{\displaystyle T^{2}=e^{-i\pi S_{y}}Ke^{-i\pi S_{y}}K=e^{-i2\pi S_{y}}K^{2}=(-1)^{2S}.}

したがって、半奇整数スピン の場合、 となります。これは、フェルミオンのような半奇整数スピン を持つ系を1回転したときに現れるマイナス記号と同じです。 S=12,32,…{\textstyle S={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\ldots }T2=−1{\textstyle T^{2}=-1}2π{\displaystyle 2\pi }

結果

フェルミオン（電子、陽子、中性子など）の総数が奇数の系のエネルギー準位は、純粋な電場（すなわち外部磁場がない）の存在下では、少なくとも二重に縮退したままである。これは1930年にHA Kramers [ 3 ]によってブライト方程式の結果として初めて発見された。1932年にEugene Wigner [ 4 ]によって示されたように、これは電場の時間反転不変性の結果であり、反ユニタリーT演算子を奇数のフェルミオンの波動関数に適用することで得られる。この定理は、静的または時間とともに変化する電場のあらゆる構成に対して有効である。

例えば、水素原子（H）は陽子1個と電子1個を含むため、クラマースの定理は適用されません。実際、Hの最低エネルギー準位（超微細エネルギー準位）は非縮退ですが、一般的な系では他の理由により縮退が生じる可能性があります。一方、重水素同位体（D）は中性子を1個多く含むため、フェルミオンの総数は3となり、クラマースの定理は適用されます。Dの基底状態には、2重縮退と4重縮退の2つの超微細成分が含まれます。

参照

参考文献

  1. ^ Zhang, Fan; Kane, CL; Mele, EJ (2013-08-02). 「時間反転不変なトポロジカル超伝導とマヨラナ・クラマース対」 . Physical Review Letters . 111 (5) 056402. arXiv : 1212.4232 . Bibcode : 2013PhRvL.111e6402Z . doi : 10.1103/ PhysRevLett.111.056402 . PMID  23952423. S2CID  31559089 .
  2. ^田崎 ハル (2020). 「2.3: 時間反転とクラマースの縮退」.量子多体系の物理学と数学. シュプリンガー社. ISBN 978-3-030-41265-4. OCLC  1154567924 .
  3. ^ハワイ州クレイマーズ(1930)。「クリストーによる回転常磁性理論の一般論」(PDF)。オランダ王立芸術科学アカデミーの議事録（フランス語）。33 ( 6–10 ): 959–972 .
  4. ^ E. ウィグナー、ウーバーは、Nachr Quantenmechanik の Zeitumkehr 作戦で死亡した。アカド。ゲス。ウィス。ゲッティンゲン 31、546–559 (1932) http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002509032
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