クラウチュク行列

数学において、クラフチュク行列（クラフチュクちょうぎょう、Krawtchouk matrices）とは、クラフチュク多項式の非負整数点における値を要素とする行列である。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}クラフチュク行列K ^{( N )は、} ( N +1)×( N +1)行列である。最初のクラフチュク行列は以下の通りである。

${\displaystyle K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\qquad K^{(1)}=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right],\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{array}}\right],\qquad K^{(3)}=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1&-3\\3&-1&-1&3\\1&-1&-1\end{array}}\right],}$

${\displaystyle K^{(4)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1\\4&2&0&-2&-4\\6&0&-2&0&6\\4&-2&0&2&-4\\1&-1&1&-1&1\end{array}}\right],\qquad K^{(5)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1&1\\5&3&1&-1&-3&-5\\10&2&-2&-2&2&10\\10&-2&-2&2&2&-10\\5&-3&1&1&-3&5\\1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right].}$

意味

一般に、正の整数 の場合、エントリは生成関数によって与えられます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K_{ij}^{(N)}}$

${\displaystyle (1+v)^{Nj}\,(1-v)^{j}=\sum _{i}v^{i}K_{ij}^{(N)},}$

ここで、行と列のインデックスはからまでの範囲です。明示的には、 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle K_{ij}^{(N)}=\sum _{k}(-1)^{k}{\binom {j}{k}}{\binom {Nj}{ik}},}$

またはKrawtchouk多項式で表すと次のようになります。

${\displaystyle K_{ij}^{(N)}=\kappa _{i}(j,N).}$

クラフチューク行列の値は、再帰関係を用いて計算することもできます。最上行に1を、右端の列に二項係数を交互に入力すると、他の要素はそれぞれ、上、右上、右に隣接する要素の和として与えられます。^{[ 3 ]}

プロパティ

クラフチューク多項式は対称二項分布に対して直交する。^{[ 4 ]}${\displaystyle p=1/2}$

変換として、Krawtchouk行列はスケーリングまでの 反転です。

${\displaystyle (K_{ij}^{(N)})^{2}=2^{N}I.}$

クラウチョク行列は、三角パスカル行列と2の累乗の対角行列を含むLDU分解を持つ。 ^{[ 5 ]}

固有値は であり、行列式は である。^{[ 5 ]}${\displaystyle \pm {\sqrt {2^{n}}}}$ ${\displaystyle (-2)^{n(n+1)/2}}$

参照

• クラウチュク多項式
• パスカル行列

参考文献

1. Bose, N. (1985).デジタルフィルタ：理論と応用. ニューヨーク: North-Holland Elsevier. ISBN 0-444-00980-9。
2. Feinsilver, P.; Kocik, J. (2004). Krawtchouk多項式とKrawtchouk行列. 応用確率論の最近の進歩. Springer-Verlag. arXiv : quant-ph/0702073 . Bibcode : 2007quant.ph..2073F .
3. Feinsilver, P.; Kocik, J. (2007). 「古典および量子ランダムウォークからのKrawtchouk行列」. arXiv : quant-ph/0702173 .
4. 「ハーンクラス：定義」。数学関数デジタルライブラリ。
5. Boyd, Geoff; Micchelli, Charles A.; Strang, Gilbert; Zhou, Ding-Xuan (2001). 「二項行列」 . Advances in Computational Mathematics . 14 (4): 379– 391. doi : 10.1023/A:1012207124894 . ISSN 1572-9044 . S2CID 36314402 .  

外部リンク

• クロフチュク百科事典