クロネッカーの補題

数学において、クロネッカーの補題（例えば、Shiryaev (1996, Lemma IV.3.2) を参照）は、無限和の収束と数列の収束の関係についての結果です。この補題は、大数の強法則など、独立確率変数の和に関する定理の証明でよく用いられます。 この補題は、ドイツの 数学者 レオポルド・クロネッカーにちなんで名付けられました

補題

が実数の無限列であって 、 （ × n ) n ＝ 1 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty}}

∑ m ＝ 1 ∞ × m ＝ s {\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s}

が存在し有限であるならば、すべて の 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ b 3 ≤ … {\displaystyle 0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots } b n → ∞ {\displaystyle b_{n}\to \infty }

lim n → ∞ 1 b n ∑ k ＝ 1 n b k × k ＝ 0. {\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\frac{1}{b_{n}}}\sum_{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}

証明

xの部分和を とします。部分和を用いて、 S k {\displaystyle S_{k}}

1 b n ∑ k ＝ 1 n b k × k ＝ S n − 1 b n ∑ k ＝ 1 n − 1 （ b k ＋ 1 − b k ) S k {\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}

ε > 0を任意に選びます。次に、 k > Nに対してε がsに近づくようにN を選びます。これは、数列がsに収束するときに行うことができます。すると、右辺は次のようになります。 S k {\displaystyle S_{k}} S k {\displaystyle S_{k}}

S n − 1 b n ∑ k ＝ 1 N − 1 （ b k ＋ 1 − b k ) S k − 1 b n ∑ k ＝ N n − 1 （ b k ＋ 1 − b k ) S k {\displaystyle S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}
＝ S n − 1 b n ∑ k ＝ 1 N − 1 （ b k ＋ 1 − b k ) S k − 1 b n ∑ k ＝ N n − 1 （ b k ＋ 1 − b k ) s − 1 b n ∑ k ＝ N n − 1 （ b k ＋ 1 − b k ) （ S k − s ) {\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}
＝ S n − 1 b n ∑ k ＝ 1 N − 1 （ b k ＋ 1 − b k ) S k − b n − b N b n s − 1 b n ∑ k ＝ N n − 1 （ b k ＋ 1 − b k ) （ S k − s ) 。 {\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).}

さて、n を無限大にしてみましょう。最初の項はsになり、これは第3項と打ち消されます。第2項はゼロになります（和が固定値であるため）。b 列は増加しているので、最後の項は で制限されます。 ϵ （ b n − b N ) / b n ≤ ϵ {\displaystyle \epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon }

参考文献

  • シルヤエフ、アルバート・N. (1996).確率（第2版）. シュプリンガー. ISBN 0-387-94549-0。
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