クーンポーカー

クーン・ポーカーは、ハロルド・W・クーンによって開発された簡略化されたポーカーの一種で、完全なゲーム理論的分析が可能な、単純なゼロ和2人用不完全情報ゲームモデルです。クーン・ポーカーでは、デッキにはキング、クイーン、ジャックなど、3枚のトランプカードのみが含まれます。両プレイヤーにカードが配られ、ベットまたはチェックを選択できます。両プレイヤーがベットまたはチェックした場合、より高いカードを持つプレイヤーが勝ちます。そうでない場合は、ベットしたプレイヤーが勝ちます。

ゲームの説明

従来のポーカー用語では、クーンポーカーのゲームは次のように進行します。

各プレイヤーはアンティ1 を支払います。
各プレイヤーに 3 枚のカードのうち 1 枚が配られ、3 枚目は見えないように脇に置かれます。
プレイヤー 1 はチェックするか、 1 をベットすることができます。
- プレイヤー 1 がチェックした場合、プレイヤー 2 はチェックするか 1 をベットすることができます。
  - プレイヤー 2 がチェックした場合、ポット 2 を争うショーダウンが行われます (つまり、より高いカードを持つプレイヤーが他のプレイヤーから 1 を獲得します)。
  - プレイヤー2がベットした場合、プレイヤー1はフォールドまたはコールすることができます。
    - プレイヤー 1 がフォールドした場合、プレイヤー 2 はポットの 3 を獲得します (つまり、プレイヤー 1 から 1 を獲得します)。
    - プレイヤー 1 がコールした場合、ポット 4 を争うショーダウンとなります (つまり、より高いカードを持っているプレイヤーが他のプレイヤーから 2 を獲得します)。
- プレイヤー 1 がベットした場合、プレイヤー 2 はフォールドまたはコールできます。
  - プレイヤー 2 がフォールドした場合、プレイヤー 1 はポット 3 を獲得します (つまり、プレイヤー 2 から 1 を獲得します)。
  - プレイヤー 2 がコールした場合は、ポット 4 を争うショーダウンとなります (つまり、より高いカードを持っているプレイヤーが他のプレイヤーから 2 を獲得します)。

最適な戦略

このゲームは混合戦略ナッシュ均衡を持つ。両プレイヤーが均衡戦略を採用した場合、最初のプレイヤーは1ハンドあたり-1/18の割合で負けると予想する（ゲームはゼロサムゲームであるため、2番目のプレイヤーは+1/18の割合で勝つと予想する）。純粋戦略均衡は存在しない。

クーンは、最初のプレイヤーには無限の均衡戦略が存在し、それらは単一のパラメータによって支配される連続体を形成することを実証した。一つの可能な定式化では、プレイヤー1はジャックを持っている場合、ベットする確率を自由に選択する（そうでなければチェックする。相手がベットした場合は必ずフォールドする）。キングを持っている場合、確率でベットする（そうでなければチェックする。相手がベットした場合は必ずコールする）。クイーンを持っている場合、常にチェックする。そして、相手がチェック後にベットした場合は、確率でコールする。 $\alpha \in [0,1/3]$ $3\alpha$ $\alpha +1/3$

2 番目のプレーヤーには単一の均衡戦略があります: キングを持っている場合は常にベットまたはコールし、クイーンを持っている場合は可能であればチェックし、そうでない場合は 1/3 の確率でコールし、ジャックを持っている場合はコールせず 1/3 の確率でベットします。

一般化されたバージョン

クーンによって発明された基本バージョンに加えて、より大きなデッキ、より多くのプレイヤー、賭けラウンドなどを追加した他のバージョンが登場し、ゲームの複雑さが増しました。

3人用クーンポーカー

3人用のバリアントは、2010年にニック・アブー・リスクとデュアン・サフロンによって導入されました。このバージョンでは、デッキには4枚のカード（10のカードを含む）があり、そこから3枚がプレイヤーに配られます。それ以外の基本的な構成は同じです。ベットがない場合はチェックまたはベットでき、ベットがある場合はコールまたはフォールドできます。全員がチェックするか、少なくとも1人のプレイヤーがコールした場合はショーダウンに進み、それ以外の場合はベットしたプレイヤーが勝ちます。

3 人用キューンポーカーのナッシュ均衡の族は解析的に知られており、解析解を持つ 3 人以上のプレイヤーがいる最大のゲームとなっています。^{[ 1 ]}族は 4～6 個のパラメーターを使用してパラメーター化されます (選択された均衡によって異なります)。すべての均衡において、プレイヤー 1 は固定の戦略を持ち、常に最初のアクションとしてチェックします。プレイヤー 2 の効用は一定で、1 ハンドあたり –1/48 に等しくなります。発見された均衡プロファイルは興味深い特徴を示しています。戦略パラメーター(0 と 1 の間) を調整することにより、プレイヤー 2 は均衡を維持しながら他の 2 人のプレイヤー間で自由に効用をシフトできます。プレイヤー 1 の効用はに等しく(これは常にプレイヤー 2 の効用よりも悪い)、プレイヤー 3 の効用はです。 $\beta$ $-{\frac {1+2\beta }{48}}$ ${\frac {1+\beta }{24}}$

この均衡族がゲームのすべてのナッシュ均衡をカバーしているかどうかは不明です。

参考文献

Kuhn, HW (1950). 「簡易版二人用ポーカー」(PDF) . Kuhn, HW; Tucker, AW (編).ゲーム理論への貢献. 第1巻. プリンストン大学出版局. pp. 97– 103.
ジェームズ・ペック. 「完全なベイズ均衡」（PDF） . オハイオ州立大学. 2016年9月2日閲覧.^{: 19～29}

^ Szafron, Duane; Gibson, Richard; Sturtevant, Nathan (2013年5月). 「3人用キューンポーカーにおける均衡プロファイルのパラメータ化された族」(PDF) . 伊藤, Jonker, Gini, Shehory (編). Proceedings of the 12th International Conference on Autonomous Agents and Multiagent Systems (AAMAS 2013) . セントポール, ミネソタ州, 米国.

外部リンク

簡易ポーカーにおける効果的な短期的対戦相手の搾取

[aamas13-1] Szafron, Duane; Gibson, Richard; Sturtevant, Nathan (2013年5月). 「3人用キューンポーカーにおける均衡プロファイルのパラメータ化された族」(PDF) . 伊藤, Jonker, Gini, Shehory (編). Proceedings of the 12th International Conference on Autonomous Agents and Multiagent Systems (AAMAS 2013) . セントポール, ミネソタ州, 米国.

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