クンマー・ヴァンディバー予想
クンマー・ヴァンディバー予想
分野代数的数論
推測エルンスト・クンマー
推測では1849
未解決の問題はい

数学において、クンマー・ファンディバー予想（クンマー・ファンディバー予想、またはファンディバー予想）は、素数p がp次円分体の最大実部分体の類数h Kを割り切れないという予想である。この予想は、エルンスト・クンマーが1849年12月28日と1853年4月24日にレオポルド・クロネッカーに宛てた手紙の中で初めて提唱され、（クンマー 1975、84、93、123～124ページ）に再録された。そして、1920年頃にフィリップ・フルトヴェングラーとハリー・ファンディバーによって独立に再発見された （1946、576ページ）。 K＝質問（ζp）+{\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}

2011 年現在、この予想を支持する証拠も反対する証拠も特に存在せず、それが真か偽かは不明ですが、反例は非常に稀であると思われます。

背景

円分体の 類数hは、2つの整数h 1とh 2の積で、これらは類数の第1因数と第2因数と呼ばれます。ここで、h 2はp番目の円分体の最大実数部分体の類数です。第1因数h 1はよく理解されており、ベルヌーイ数を用いて容易に計算できますが、通常はかなり大きくなります。第2因数h 2はよく理解されておらず、明示的に計算するのは困難です。また、計算できたとしても通常は小さい値になります。 質問（ζp）{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}K＝質問（ζp）+{\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}

クマーは、素数pが類数hを割り切れない場合、指数pに対してフェルマーの最終定理が成り立つことを示しました。

クマー＝ヴァンディバー予想は、p が第二因数h 2を割り切れないというものです。クマーは、p が第二因数を割り切れるならば、第一因数も割り切れることを示しました。特に、クマー＝ヴァンディバー予想は、正則素数（ p が第一因数を割り切れない 素数）に対して成立します。

クンマー・ヴァンディバー予想を支持する証拠と反証

クマーはpが200未満の場合にクマー・ヴァンディバー予想を検証し、ヴァンディバーはこれをpが600未満まで拡張した。ジョー・ブーラー、リチャード・クランドール、レイヨ・アーンヴァル他（2001 ）はp < 12,000,000の場合にこれを検証した。ブーラー＆ハーベイ（2011）はこれを163,000,000未満の素数まで拡張し、ハート、ハーベイ＆オン（2017）はこれを2 31未満の素数まで拡張した。

ワシントン (1996、158ページ) は、pを法とする類数の均等分布に関するかなり疑わしい仮定に基づいた非公式の確率論について説明しており、クンマー-ヴァンディバー予想の例外となる x未満の素数の数は(1/2)log log xのように増加する可能性があることを示唆している。 この増加は非常にゆっくりとしており、コンピュータ計算ではヴァンディバー予想を裏付ける証拠があまりないことを示唆している。 たとえば、確率論 (小さな素数の計算と組み合わせた) によると、最初の 10 100個の素数には反例が 1 個程度しか存在しないと予想され、例外が無限にあったとしても、それ以上の総当たり探索で反例が見つかる可能性は低いことを示唆している。

Schoof (2003)は、10000までの素数に対する実円分体の類数に関する予想計算を行い、類数がpを法としてランダムに分布していないことを強く示唆している。類数は非常に小さい傾向があり、しばしば1である。例えば、一般化リーマン予想を仮定すると、素数pに対する実円分体の類数は、 p < 163では1 、p = 163 では4で割り切れる。これは、ワシントンのこの予想に対する非公式な確率論が誤解を招く可能性があることを示唆している。

ミハイレスク（2010）はワシントンのヒューリスティックな議論を改良したバージョンを提示し、クンマー・ヴァンディバー予想はおそらく正しいと示唆した。

クンマー・ヴァンディバー予想の結果

栗原 (1992) は、この予想が整数の代数 K 理論における命題、すなわち nが 4 の倍数であるときはいつでもK n ( Z ) = 0となる命題と同等であることを示した。実際、クンマー・ヴァンディバー予想とノルム留数同型定理から、 nのすべての値に対するK群の完全な予想計算が導かれる。詳細については、 クイレン・リヒテンバウム予想を参照のこと。

参照

参考文献

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kummer–Vandiver_conjecture&oldid=1292183515」より取得