クンマー理論

抽象代数学および数論において、クンマー理論は、基礎体の元のn乗根の随伴を含む特定のタイプの体拡大の記述を提供します。この理論はもともと、 1840年代頃にエルンスト・エドゥアルト・クンマーが、フェルマーの最終定理に関する先駆的な研究の中で発展させました。主な主張は、整数nを割り切れないはずの標数 を除けば、体の性質に依存せず、したがって抽象代数学に属します。体Kの標数がn を割り切る場合の巡回拡大の理論は、アルティン・シュライアー理論と呼ばれます。

クンマー理論は、例えば類体論や、一般的なアーベル拡大の理解において基礎となる。十分な単位根が存在する場合、巡回拡大は根の抽出という観点から理解できるとクンマー理論は述べている。類体論における主な負担は、余分な単位根（より小さな体への「降順」）を省くことであり、これははるかに深刻な問題である。

クマー拡張機能

クンマー拡大は、ある整数n > 1 に対して、 L / Kの体拡大である。

• Kにはn個の異なるn乗根（つまりX ⁿ − 1の根）が含まれる。
• L / Kは指数nのアーベルガロア群を持ちます。

例えば、n = 2の場合、 Kの標数が2でない場合、最初の条件は常に真となる。この場合のクンマー拡大には、 Kのaが非正方元である二次拡大が含まれる。二次方程式の通常の解により、 Kの2次拡大はすべてこの形になる。この場合のクンマー拡大には、双二次拡大や、より一般的な多重二次拡大も含まれる。Kの標数が2の場合、そのようなクンマー拡大は存在しない。 ${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$

n = 3とすると、有理数体Qの 3 次クンマー拡大は存在しない。これは、 1 の 3 乗根に対して 3 つの複素数が必要となるためである。LをQ上のX ³ − aの分解体（a は有理数体の 3 乗ではない）とすると、Lには 1 の 3 乗根を持つ部分体Kが含まれる。これは、α と β が 3 次多項式の根である場合に (α/β) ³ =1 となり、3 次多項式が分離多項式となるためである。このとき、L / Kはクンマー拡大となる。

より一般的には、K がn個の異なるn乗根を含む場合、つまりKの標数がn を割り切れない場合、 Kの任意の元aのn乗根をKに付加すると、クンマー拡大（m 次、nを割り切れるmが存在する場合）が生じる。多項式X ⁿ − aの分解体として、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群はm位の巡回体となる。ガロア作用は、 の前の 乗根を通して簡単に追跡できる。${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

クンマー理論は逆の命題を提供する。Kがn個の異なるn乗根を含むとき、指数nを割り切るKの任意のアーベル拡大はKの元の根の抽出によって形成されると述べる。さらに、K ^{× が}Kの非零元の乗法群を表すとき、指数nのKのアーベル拡大は Kの部分群と全単射に対応する 。

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

つまり、K ^× n乗を 法とする元である。この対応は次のように明示的に記述できる。部分群

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

対応する拡張は次のように与えられる。

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

どこ

${\displaystyle \Delta^{\frac{1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times},a\cdot \left(K^{\times}\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

実際、群 Δ の任意の生成元集合の各元について、その代表値のn乗根を付加するだけで十分である。逆に、 LがKのクンマー拡大ならば、Δ は次の規則によって回復される。

${\displaystyle \Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

この場合、同型性が存在する

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

与えられた

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

ここで、α はLに属するaの任意のn乗根である。ここで はn乗根の単位元（ Kに属する）の乗法群を表し、 はクルル位相を持つからへの連続準同型群であり、離散位相を持つ（群演算は点ごとの乗算で与えられる）群である。この群（離散位相を持つ）は、 を円群の部分群と見なすと仮定すると、のポンチャギン双対として見ることもできる。拡大L / Kが有限ならば、は有限離散群であり、 ${\displaystyle \mu_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \mu_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \mu_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

しかし、最後の同型性は自然ではありません。

原始要素から1 ^{/ n}を復元する

素数に対して、を と次数ガロア拡大を含む体とする。ガロア群は巡回的であり、 によって生成されることに注意する。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \zeta_{p}}$ ${\displaystyle K(\beta )/K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \alpha =\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l}\sigma ^{l}(\beta )\in K(\beta )}$

適切に選択すれば（例えば が正規基底の 場合）、そして ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \{\sigma^{i}(\beta)\}_{i=0}^{p-1}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

${\displaystyle \zeta _{p}\sigma (\alpha )=\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l+1}\sigma ^{l+1}(\beta )=\alpha 。}$

したがって、そして ${\displaystyle \alpha \neq \sigma (\alpha )}$ ${\displaystyle K(\alpha )=K(\beta )}$

${\displaystyle \alpha^{p}=\pm\prod_{l=0}^{p-1}\zeta_{p}^{-l}\alpha =\pm\prod_{l=0}^{p-1}\sigma^{l}(\alpha)=\pmN_{K(\beta)/K}(\alpha)\inK}$ 、

ここで、が奇数の場合、符号は となり、の場合、符号は となります。 ${\displaystyle \pm}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle p=2}$

が 次数 のアーベル拡大でとなるような平方自由度である場合、同じ議論を次数 のガロア部分体 に適用して${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n=\prod _{j=1}^{m}p_{j}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}\in K}$ ${\displaystyle K(\beta _{j})/K}$ ${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle L=K\left(a_{1}^{1/p_{1}},\ldots ,a_{m}^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/p_{1}},\ldots ,A^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/n}\right)}$

どこ

${\displaystyle A=\prod _{j=1}^{m}a_{j}^{n/p_{j}}\in K}$ 。

クンマー地図

クンマー理論の主要なツールの一つはクンマー写像である。 を正の整数とし、を体とする。体とは、必ずしもの 乗根を含むとは限らない。を の代数的閉包とすると、 の短完全列が存在する。${\displaystyle m}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[m]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{m}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0}$

拡張を選択し、-コホモロジーをとると、次の列が得られる。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} ({\overline {K}}/L)}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{m}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[m]\xrightarrow {} 0}$

ヒルベルトの定理90 より、同型写像 が得られる。これがクンマー写像である。この写像は、すべてを同時に考慮した場合のバージョンも存在する。つまり、 であるので、を に対して直極限とすると同型 写像が得られる。${\displaystyle H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0}$ ${\displaystyle \delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)}$ 、

ここで、tors は単位根の ねじり部分群を表します。

楕円曲線の場合

クンマー理論は楕円曲線の文脈でよく用いられる。楕円曲線をとすると、短完全列が存在する。 ${\displaystyle E/K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0}$ 、

ここで、写像による乗算は、が割り切れるので射影的である。代数的拡大を選択し、コホモロジーをとると、 のクンマー列が得られる。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0}$ 。

弱モーデル＝ヴェイユ群の計算は、モーデル＝ヴェイユ定理の証明において重要な部分を占める。が零にならないことが、理論に重要な複雑さを加えている。 ${\displaystyle E(L)/mE(L)}$ ${\displaystyle H^{1}(L,E)}$

一般化

G が加群Aに作用する原有限群であり、G加群Aからそれ自身への射影準同型 π を持つとする。また、 G がπ の核Cに自明に作用し、第一コホモロジー群 H ¹ ( G , A ) が自明であるとする。このとき、群コホモロジーの正確な列は、 A ^G /π( A ^G ) と Hom( G , C )の間に同型が存在することを示す。

クンマー理論は、Aが体kの可分閉包の乗法群、Gがガロア群、π がn乗写像、Cがn乗根の群であるときの特殊なケースです。アルティン・シュライアー理論は、 Aが正の標数pの体kの可分閉包の加法群、Gがガロア群、π がフロベニウス写像から単位元を引いたもの、Cが位数pの有限体であるときの特殊なケースです。Aを切り捨てられたウィットベクトルの環の加法群とすると、ウィットによるアルティン・シュライアー理論のp ⁿを割り切る指数の拡大への一般化が得られます。

参照

• 二次関数体

参考文献

• 「クンマー拡張」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Bryan Birch、「Cyclotomic fields and Kummer extensions」、JWS CasselsとA. Frohlich (edd)、『Algebraic number theory』、Academic Press、1973 年。第 3 章、85 ～ 93 ページ。