クラトフスキーの閉包補問題

点集合位相幾何学において、クラトフスキーの閉包補集合問題は、位相空間の与えられた初期部分集合に閉包と補集合の集合演算を繰り返し適用することで得られる異なる集合の最大数を求める問題である。答えは14である。この結果は、1922年にカジミエシュ・クラトフスキーによって初めて発表された。 ^[1]この問題は、クラトフスキーの基礎論文『トポロジー』（フランス語版初版は1933年、英語版初版は1966年）でさらに広く知られるようになり、その後、ジョン・L・ケリーの1955年の古典『一般位相幾何学』の教科書演習問題として有名になった。^[2]

証拠

位相空間の任意の部分集合を とすると、 の閉包を 、 の補集合を と書く。以下の3つの恒等式は、最大14個の異なる集合が得られることを意味する。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle kS}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle cS}$ ${\displaystyle S}$

1. ${\displaystyle kkS=kS}$ （閉包演算はべき等です。）
2. ${\displaystyle ccS=S}$ （補数演算は反転です。）
3. ${\displaystyle kckckckcS=kckcS}$ （または、等式（2）を使用して、 と同等）。${\displaystyle kckckckS=kckckckccS=kckS}$

最初の2つは自明です。3つ目は、の内部が の補集合の閉包の補集合に等しい恒等式から導かれます。(この演算はべき等です。) ${\displaystyle kikiS=kiS}$ ${\displaystyle iS}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle iS=ckcS}$ ${\displaystyle ki=kckc}$

最大値14を実現する部分集合は14集合と呼ばれます。通常の位相における実数空間には14集合が含まれます。以下に一例を示します。

${\displaystyle (0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},}$

ここで は開区間、 は閉区間を表します。この集合を とします。すると、以下の14個の集合が利用可能です。 ${\displaystyle (1,2)}$ ${\displaystyle [4,5]}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$ 、上記に示したセット。
2. ${\displaystyle cX=(-\infty ,0]\cup \{1\}\cup [2,3)\cup (3,4)\cup {\bigl (}(4,5)\setminus \mathbb {Q} {\bigr )}\cup (5,\infty )}$
3. ${\displaystyle kcX=(-\infty ,0]\cup \{1\}\cup [2,\infty )}$
4. ${\displaystyle ckcX=(0,1)\cup (1,2)}$
5. ${\displaystyle kckcX=[0,2]}$
6. ${\displaystyle ckckcX=(-\infty ,0)\cup (2,\infty )}$
7. ${\displaystyle kckckcX=(-\infty ,0]\cup [2,\infty )}$
8. ${\displaystyle ckckckcX=(0,2)}$
9. ${\displaystyle kX=[0,2]\cup \{3\}\cup [4,5]}$
10. ${\displaystyle ckX=(-\infty ,0)\cup (2,3)\cup (3,4)\cup (5,\infty )}$
11. ${\displaystyle kckX=(-\infty ,0]\cup [2,4]\cup [5,\infty )}$
12. ${\displaystyle ckckX=(0,2)\cup (4,5)}$
13. ${\displaystyle kckckX=[0,2]\cup [4,5]}$
14. ${\displaystyle ckckckX=(-\infty ,0)\cup (2,4)\cup (5,\infty )}$

さらなる結果

クラトフスキーの閉包補問題は位相空間の文脈に起源を持つにもかかわらず、実際には位相的というより代数的な性質を帯びている。1960年以降、驚くほど多くの密接に関連する問題と結果が提示されてきたが、その多くは点集合位相とはほとんど、あるいは全く関係がない。^[3]

集合値関数とみなすと、14個の閉包補演算はクラトフスキーモノイドと呼ばれる演算子モノイドを構成し、モノイド積は関数合成となる。^{[4] [5]このモノイドは、位相空間を}商に 基づいて分類するのに使用でき、他の設定でも同様の分類に影響を与えている。^[6]

参照

• 自由モノイド

参考文献

1. クラトフスキ、カジミエシュ(1922)。 「状況分析作戦」(PDF)。数学の基礎。３．ワルシャワ: ポーランド科学アカデミー: 182–199 . doi :10.4064/fm-3-1-182-199。ISSN  0016-2736。
2. ケリー、ジョン(1955).一般位相幾何学ヴァン・ノストランド. p. 57. ISBN 0-387-90125-6。
3. ハマー、PC (1960)。 「クラトフスキーの閉塞定理」。ウィスクンデの新しい大首領。８．オランダ王立数学協会: 74–80 . ISSN  0028-9825。
4. Gardner, BJ; Jackson, M. (2008). 「クラトフスキーの閉包補定理」(PDF) .ニュージーランド数学ジャーナル. 38.ニュージーランド数学会: 9–44 . S2CID  11278456.
5. Bowron, Mark (2024). 「Kuratowskiモノイドの境界-境界拡張」.トポロジーとその応用. 341 (108703). Elsevier: 1– 35. doi : 10.1016/j.topol.2023.108703 . S2CID  257505589.
6. Schwiebert, Ryan (2017). 「環のラジカル消滅モノイド」. Communications in Algebra . 45 (4): 1601– 1617. arXiv : 1803.00516 . doi :10.1080/00927872.2016.1222401. S2CID  73715295.

外部リンク

• クラトフスキー閉包補問題 2019年5月7日アーカイブ at the Wayback Machine