フィルタリング理論 において、 クシュナー 方程式 （ ハロルド・クシュナーにちなんで名付けられた）は、 確率的 非線形 動的システム の状態の 条件付き確率 密度 を求める方程式であり 、状態のノイズ測定が与えられた場合に用いられる。 [1]したがって、この方程式は 推定理論における 非線形フィルタリング 問題 の解を与える。この方程式は ストラトノビッチ–クシュナー 方程式 [2] [3] [4] [5] （またはクシュナー–ストラトノビッチ） と呼ばれることもある 。しかし、 伊藤計算 による正しい方程式は クシュナーによって初めて導出されたが、よりヒューリスティックなストラトノビッチ版は1950 年代後半の ストラトノビッチ の著作の中に既に登場している。しかし、伊藤計算による導出はリチャード・バシーによるものである。 [6] [ 説明が必要 ]
概要 システムの状態は次のように変化すると仮定する
d
x
=
f
(
x
,
t
)
d
t
+
σ
d
w
{\displaystyle dx=f(x,t)\,dt+\sigma \,dw}
システム状態のノイズ測定も利用可能である。
d
z
=
h
(
x
,
t
)
d
t
+
η
d
v
{\displaystyle dz=h(x,t)\,dt+\eta \,dv}
ここで、 w 、 v は独立な ウィーナー過程である。すると、時刻 t における状態の 条件付き確率密度 p ( x , t )は、クシュナー方程式で与えられる。
d
p
(
x
,
t
)
=
L
[
p
(
x
,
t
)
]
d
t
+
p
(
x
,
t
)
(
h
(
x
,
t
)
−
E
t
h
(
x
,
t
)
)
⊤
η
−
⊤
η
−
1
(
d
z
−
E
t
h
(
x
,
t
)
d
t
)
.
{\displaystyle dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t){\big (}h(x,t)-E_{t}h(x,t){\big )}^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-E_{t}h(x,t)dt{\big )}.}
ここで
L
[
p
]
:=
−
∑
∂
(
f
i
p
)
∂
x
i
+
1
2
∑
(
σ
σ
⊤
)
i
,
j
∂
2
p
∂
x
i
∂
x
j
{\displaystyle L[p]:=-\sum {\frac {\partial (f_{i}p)}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum (\sigma \sigma ^{\top })_{i,j}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}
は コルモゴロフ順方向 演算子で
あり、
d
p
(
x
,
t
)
=
p
(
x
,
t
+
d
t
)
−
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle dp(x,t)=p(x,t+dt)-p(x,t)}
条件付き確率の変化です。
この用語 は イノベーション 、つまり測定値とその期待値の差です。
d
z
−
E
t
h
(
x
,
t
)
d
t
{\displaystyle dz-E_{t}h(x,t)dt}
カルマン・ビューシーフィルタ クシュナー方程式を用いて、 線形拡散過程の カルマン・ビューシーフィルタ を導出することができる。 とと仮定すると 、クシュナー方程式は次のように与えられる。
f
(
x
,
t
)
=
A
x
{\displaystyle f(x,t)=Ax}
h
(
x
,
t
)
=
C
x
{\displaystyle h(x,t)=Cx}
d
p
(
x
,
t
)
=
L
[
p
(
x
,
t
)
]
d
t
+
p
(
x
,
t
)
(
C
x
−
C
μ
(
t
)
)
⊤
η
−
⊤
η
−
1
(
d
z
−
C
μ
(
t
)
d
t
)
,
{\displaystyle dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t){\big (}Cx-C\mu (t){\big )}^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-C\mu (t)dt{\big )},}
ここで は時刻 における条件付き確率の平均である 。 を乗じて積分すると 、平均の変化が得られる。
μ
(
t
)
{\displaystyle \mu (t)}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
d
μ
(
t
)
=
A
μ
(
t
)
d
t
+
Σ
(
t
)
C
⊤
η
−
⊤
η
−
1
(
d
z
−
C
μ
(
t
)
d
t
)
.
{\displaystyle d\mu (t)=A\mu (t)dt+\Sigma (t)C^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-C\mu (t)dt{\big )}.}
同様に、分散の変化は 次のように表される。
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
d
d
t
Σ
(
t
)
=
A
Σ
(
t
)
+
Σ
(
t
)
A
⊤
+
σ
⊤
σ
−
Σ
(
t
)
C
⊤
η
−
⊤
η
−
1
C
Σ
(
t
)
.
{\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}\Sigma (t)=A\Sigma (t)+\Sigma (t)A^{\top }+\sigma ^{\top }\sigma -\Sigma (t)C^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}C\,\Sigma (t).}
条件付き確率は、正規分布によって各瞬間に与えられます 。
N
(
μ
(
t
)
,
Σ
(
t
)
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu (t),\Sigma (t))}
参照
参考文献
^ Kushner, HJ (1964). 「マルコフ過程の条件付き確率密度が満たす微分方程式とその応用について」. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series A: Control . 2 (1): 106– 119. doi :10.1137/0302009 ^ Stratonovich, RL (1959). 定数パラメータを持つ信号とノイズの分離を実現する最適非線形システム . Radiofizika, 2:6, pp. 892–901. ^ Stratonovich, RL (1959). ランダム関数の最適非線形フィルタリング理論について . 確率理論とその応用, 4, pp. 223–225. ^ Stratonovich, RL (1960) 「マルコフ過程理論の最適フィルタリングへの応用」 無線工学と電子物理学、5:11、pp.1–19。 ^ Stratonovich, RL (1960). 条件付きマルコフ過程 . 確率理論とその応用, 5, pp. 156–178. ^ Bucy, RS (1965). 「非線形フィルタリング理論」. IEEE Transactions on Automatic Control . 10 (2): 198. doi :10.1109/TAC.1965.1098109. 
![{\displaystyle dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t){\big (}h(x,t)-E_{t}h(x,t){\big )}^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-E_{t}h(x,t)dt{\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f058ec743ef18fd0be104861dbf4b096569145f8)
![{\displaystyle L[p]:=-\sum {\frac {\partial (f_{i}p)}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum (\sigma \sigma ^{\top })_{i,j}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab20e8437e3496d0da0deed74922c0de618dc0dd)
![{\displaystyle dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t){\big (}Cx-C\mu (t){\big )}^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-C\mu (t)dt{\big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f78a41350d39aac982f5b2b804c371dd3624e2c)
