レヴィの連続定理

確率論において、レヴィの連続性定理、あるいはレヴィの収束定理^[1]は、フランスの数学者 ポール・レヴィにちなんで名付けられ、確率変数の列の分布の収束とそれらの特性関数の各点収束を結び付けています。この定理は中心極限定理を証明する一つのアプローチの基礎であり、特性関数に関する主要な定理の一つです。

声明

仮に、

• 必ずしも共通の確率空間を共有するわけではない一連の確率変数 。${\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$
• 対応する特性関数 の列。定義によれば、 ${\textstyle \{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

  ${\displaystyle \varphi_{n}(t)=\operatorname{E}\left[e^{itX_{n}}\right]\quad\forallt\in\mathbb{R},\\foralln\in\mathbb{N},}$

  ここで、期待値演算子です。${\displaystyle \operatorname {E} }$

特性関数の列が点ごとにある関数に収束する場合${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} ,}$

すると、次の文は同等になります。

• ${\displaystyle X_{n}}$ 分布的に何らかの確率変数 Xに収束する

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,}$

  つまり、確率変数に対応する累積分布関数は、 X のcdfのすべての連続点で収束する 。
• ${\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ きついです：

  ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0;}$

• ${\displaystyle \varphi (t)}$ はある確率変数Xの特性関数である。
• ${\displaystyle \varphi (t)}$ tの連続関数である。
• ${\displaystyle \varphi (t)}$ t  = 0では連続です。

証拠

この定理の厳密な証明は存在する。^{[1] [2]}

参考文献

1. Williams, D. (1991).マーチンゲール法による確率論. ケンブリッジ大学出版局. 第18.1節. ISBN 0-521-40605-6。
2. Fristedt, BE; Gray, LF (1996).確率論への現代的アプローチ. ボストン: Birkhäuser. 定理14.15および18.21. ISBN 0-8176-3807-5。