タクシーの形状

タクシー幾何学では、赤、青、緑、黄色の経路の長さはすべて12（タクシーの対角間の距離）に等しく、4つの経路すべてが最短経路となります。一方、ユークリッド幾何学では、赤、青、黄色の経路の長さは12のままですが、緑の経路が唯一の最短経路となり、その長さは対角間のユークリッド距離、つまり6√2 ≈ 8.49に等しくなります。

タクシー幾何学またはマンハッタン幾何学は、よく知られているユークリッド距離を無視し、2点間の距離をそれぞれの直交座標の絶対差の合計として定義する幾何学です。この距離関数 (またはメトリック) は、タクシー距離、マンハッタン距離、または街区距離と呼ばれます。この名前はマンハッタン島、または一般にタクシーがグリッド方向に沿ってのみ移動できる長方形の街路を持つ計画都市を指します。タクシー幾何学では、任意の 2 点間の距離は、最短のグリッド パスの長さに等しくなります。この距離の定義の違いにより、曲線の長さの定義も異なり、任意の 2 点間の線分の長さは、ユークリッド長さではなく、それらの点間のグリッド パスと同じ長さになります。

タクシー距離は、直線距離またはL ¹距離（L ^p空間を参照）とも呼ばれる。^{[ 1 ]}この幾何学は18世紀から回帰分析で用いられており、 LASSOと呼ばれることが多い。その幾何学的解釈は19世紀の非ユークリッド幾何学に遡り、ヘルマン・ミンコフスキーによるものである。

二次元実座標空間 において、二点間のタクシー距離はである。つまり、タクシー距離は両座標の差の 絶対値の和である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|}$

正式な定義

固定直交座標系を持つn次元実座標空間における2 点間のタクシー距離 は、点間の線分の座標軸への投影の長さの和である。より正式には、例えば において、と間のタクシー距離は次のようになる。${\displaystyle d_{\text{T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}){\text{ および }}\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ $${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|_{\text{T}}=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-q_{i}\right|}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2})}$ ${\displaystyle \left|p_{1}-q_{1}\right|+\left|p_{2}-q_{2}\right|.}$

歴史

L ^{1計量は、1757年に}ロジャー・ジョセフ・ボスコヴィッチにより回帰分析の適合度の尺度として使われた。^{[ 2 ]}これを幾何学的空間における点間の距離として解釈するようになったのは、19世紀後半の非ユークリッド幾何学の発展に遡る。特に、これは1910年にフリジェシュ・リースとヘルマン・ミンコフスキーの両著作に登場している。タクシー幾何学を特別なケースとして含むL ^p空間の形式化はリースによるものとされている。^{[ 3 ]}ヘルマン・ミンコフスキーは数の幾何学を発展させる中で、ミンコフスキー不等式を確立し、これらの空間がノルムベクトル空間を定義すると述べた。^{[ 4 ]}

タクシー幾何学という名称は、1952年にシカゴ科学産業博物館で一般向けの幾何学展に付随する小冊子『You Will Like Geometry』の中でカール・メンガーによって導入された。 ^{[ 5 ]}

プロパティ

タクシー距離はユークリッド空間に重ねられた追加構造として考えられ、座標系の向きに依存し、空間のユークリッド回転によって変化しますが、並進や軸に沿った反射の影響を受けません。タクシー幾何学は、角度の合同をユークリッドの概念と正確に一致するように定義できないことを除いて、ヒルベルトの公理（ユークリッド幾何学の形式化）をすべて満たし、合同なタクシー角度の妥当な定義では、一般に2つのタクシー合同な辺とその間のタクシー合同な角度を持つ三角形は合同な三角形ではないため、辺-角-辺の公理は満たされません。

球体

半径1（赤）と2（青）の3Dボールは正八面体である。中心八面体の数で囲まれた整数格子点の数は

タクシーの幾何学における円上のグリッドポイントは、グリッドが細かくなるにつれて

任意の計量空間において、球面とは、特定の中心点から半径という一定の距離にある点の集合です。ユークリッド球面は球面であり回転対称ですが、タクシー距離の条件下では、球面の形状は交差多面体、つまり正八面体のn次元一般化であり、その点は次式を満たします。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-c_{i}|=r,}$

ここでは中心、rは半径である。原点を中心とし、半径 1 の球面である単位球面上の点は、次式を満たす。${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {0} )=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}|=1.}$

2次元タクシー幾何学において、球面（円と呼ばれる）は座標軸に対して斜めに向いた正方形です。右の図は、青い中心から一定の距離にある正方格子上のすべての点の集合を赤色で示しています。格子を細かくするほど、赤色の点の数が増え、極限では連続した傾斜した正方形に近づく傾向があります。各辺の長さはタクシーキャブの長さ 2 rなので、円周は8 rです。したがって、タクシー幾何学において、円周定数πのアナログ値、つまり円周と直径の比は4です。

閉球（2次元の場合は閉円板）は、特定の中心から半径以下の距離にある点の集合である、塗りつぶされた球面です。正方格子上のセルオートマトンの場合、タクシー円板はその中心から rの範囲にあるフォン・ノイマン近傍です。

平面上のチェビシェフ距離（L _∞計量）における半径rの円は、座標軸に平行な辺の長さが2 rの正方形でもあるため、平面チェビシェフ距離は回転とスケーリングによって平面タクシー距離と等価であると見なすことができます。しかし、L ₁計量とL _∞計量のこの等価性は、高次元には一般化されません。

これらの円のコレクション内の各ペアに空でない交差点がある場合は常に、コレクション全体の交差点が存在するため、マンハッタン距離は単射的な距離空間を形成します。

弧の長さ

を連続的に微分可能な関数とする。ある区間 におけるのグラフのタクシーの弧の長さを とする。区間 を等しい無限小区間に分割し、 を部分弧のタクシーの長さとする。すると^{[ 6 ]}${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \Delta s_{i}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+\Delta y_{i}=\Delta x_{i}+|f(x_{i})-f(x_{i-1})|.}$$

平均値定理によれば、と の間にはとなる点が存在する。^{[ 7 ]} このとき、前の式は次のように書ける。 ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x_{i}^{*})\,dx_{i}}$

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+|f'(x_{i}^{*})|\,\Delta x_{i}=\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|).}$$

すると、は が任意に小さくなるにつれて上の各分割の合計として与えられます。${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [a,b]}$

単調増加または単調減少関数によって定義された曲線は、同じ端点を共有する限り、同じタクシーの弧の長さを持ちます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|)\\&=\int _{a}^{b}1+|f'(x)|\,dx\end{aligned}}}$$ これを検証するために、原点を中心とする半径 のタクシー円を考えてみましょう。第一象限における曲線は で与えられ、その長さは ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(x)=-x+r}$

$${\displaystyle s=\int _{0}^{r}1+\left|-1\right|\,dx=2r}$$

この値に残りの象限を掛け合わせると となり、これはタクシーの円の円周と一致する。 ^{[ 8 ]}次に、原点を中心とする半径 のユークリッド円を考える。これは で与えられる。その第一象限における弧の長さは で与えられる。 ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 8r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{r}1+\left|{\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\right|\,dx\\[6pt]&=\left.x+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\vphantom {\frac {1}{1}}}\right|_{0}^{r}\\[6pt]&=r-(-r)\\[6pt]&=2r\end{aligned}}}$$

残りの象限を考慮すると、再び となる。したがって、タクシー円の円周とタクシー計量におけるユークリッド円の円周は等しい。^{[ 9 ]}実際、区間 にわたって連続微分を持つ単調かつ微分可能な任意の関数について、区間における の弧長は である。^{[ 10 ]}${\displaystyle 4\times 2r=8r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (b-a)+\left|f(b)-f(a)\right|}$

三角形の合同

タクシーキャブの直角二等辺三角形2つ。3つの角と2つの辺は合同だが、三角形は合同ではない。したがって、ASASAはタクシー幾何学における合同定理ではない。

二つの三角形が合同であるためには、対応する三つの辺の距離が等しく、かつ対応する三つの角の大きさが等しいことが必要である。ユークリッド幾何学には、三角形の合同性を保証する定理がいくつかある。具体的には、角-角-辺（AAS）、角-辺-角（ASA）、辺-角-辺（SAS）、辺-辺-辺（SSS）である。しかし、タクシー幾何学においては、三角形の合同性を保証するのはSASAS定理のみである。^{[ 11 ]}

例えば、角度が 45-90-45 である 2 つの直角二等辺タクシー三角形を考えてみましょう。両方の三角形の 2 辺のタクシーの長さは 2 ですが、斜辺は合同ではありません。この反例により、AAS、ASA、および SAS が排除されます。また、AASS、AAAS、さらには ASASA も排除されます。3 つの角度と 2 つの辺が合同であっても、タクシー幾何学における三角形の合同は保証されません。したがって、タクシー幾何学における唯一の三角形合同定理は SASAS であり、対応する 3 つの辺がすべて合同で、少なくとも 2 つの対応する角度が合同でなければなりません。^{[ 12 ]}この結果は主に、タクシー幾何学において線分の長さがその向きに依存するという事実によるものです。

アプリケーション

圧縮センシング

線形方程式の不完全決定系を解く際に、パラメータベクトルの正規化項はベクトルのノルム（タクシー幾何学）で表現される。 ^{[ 13 ]}このアプローチは、圧縮センシングと呼ばれる信号回復フレームワークに見られる。 ${\displaystyle \ell _{1}}$

頻度分布の違い

タクシーキャブ幾何学は、離散頻度分布の差異を評価するために使用できます。たとえば、RNAスプライシングでは、スプライス部位付近の各ヌクレオチドに各ヘキサマーが出現する確率をプロットしたヘキサマーの位置分布をL1距離と比較できます。各位置分布はベクトルとして表すことができ、各エントリはヘキサマーが特定のヌクレオチドで始まる尤度を表します。2つのベクトル間のL1距離が大きいことは、分布の性質に大きな違いがあることを示し、距離が小さいことは分布の形状が似ていることを示します。これは、2つの分布曲線間の面積を測定することと同じです。なぜなら、各セグメントの面積は、その時点での2つの曲線の尤度の絶対差だからです。すべてのセグメントについて合計すると、L1距離と同じ測定値が得られます。^{[ 14 ]}

参照

チェス盤上の3-4-5三角形の斜辺におけるチェビシェフ距離、ユークリッド距離、タクシー距離の比較

• チェビシェフ距離
• ハミング距離– 2つの2進数字列間の異なるビットの数
• リー距離
• 直交凸包 – 各軸平行線を一定区間で交差する最小の集合
• 階段のパラドックス- より細く細くなる「階段曲線」の長さの限界が、曲線が向かう対角線の長さに比例しないというパラドックス。

参考文献

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2. スティグラー、スティーブン・M. (1986). 『統計の歴史：1900年以前の不確実性の測定』ハーバード大学出版局. ISBN 9780674403406. 2019年10月6日閲覧。
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4. ミンコフスキー、ヘルマン(1910)。Geometrie der Zahlen (ドイツ語)。ライプツィヒとベルリン：RG Teubner。JFM 41.0239.03。MR 0249269 。2019 年10 月 6 日に取得。  
5. メンガー、カール (1952). 『幾何学が好きになるよ。イリノイ工科大学幾何学展ガイドブック』シカゴ：科学産業博物館.
   ゴランド、ルイーズ (1990). 「カール・メンガーとタクシー幾何学」.数学雑誌. 63 (5): 326– 327. doi : 10.1080/0025570x.1990.11977548 .
6. Heinbockel, JH (2012). 『微積分学入門 第2巻』 オールドドミニオン大学. pp.  54– 55.
7. ペノット, JP (1988-01-01). 「平均値定理について」 .最適化. 19 (2): 147– 156. doi : 10.1080/02331938808843330 . ISSN 0233-1934 . 
8. ペトロヴィッチ、マヤ;マレシェヴィッチ、ブランコ。バニャック、ボージャン。オブラドヴィッチ、ラトコ（2014）。いくつかのタクシーの曲線のジオメトリ。幾何学とグラフィックスに関する第 4 回国際科学会議。セルビア幾何学グラフィックス協会、スルビアのニシュ大学。arXiv : 1405.7579。
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14. Lim, Kian Huat; Ferraris, Luciana; Filloux, Madeleine E.; Raphael, Benjamin J.; Fairbrother, William G. (2011年7月5日). 「位置分布を用いたスプライシングエレメントの同定とヒト遺伝子におけるpre-mRNAプロセシング欠陥の予測」. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 108 (27): 11093– 11098. Bibcode : 2011PNAS..10811093H . doi : 10.1073/pnas.1101135108 . PMC 3131313. PMID 21685335 .  

さらに読む

• ガードナー、マーティン(1997). 「10. タクシーキャブ幾何学」 . 『最後のレクリエーション』 . コペルニクス. pp.  159– 176. ISBN 0-387-94929-1。
• クラウス、ユージン・F. (1975).タクシーキャブ幾何学. アディソン・ウェスレー. ISBN 0201039346。ドーバー社（1986年）より再版、ISBN 0-486-25202-7。
• ストロガッツ、スティーブン(2025年6月9日). 「タクシーの幾何学」 .ニューヨーク・タイムズ.

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「タクシーメトリック」。MathWorld 。
• マルケヴィッチ、ジョー（2007年10月1日）「タクシー！」アメリカ数学会誌。 2019年10月6日閲覧。
• タクシーの信号付きメーター