ラグランジュの反転定理

数学解析学において、ラグランジュの逆定理（ラグランジュ・ビュルマンの公式とも呼ばれる）は、解析関数の逆関数のテイラー級数展開を与える。ラグランジュの逆定理は、逆関数定理の特殊な場合である。

声明

zがwの関数として次の式で 定義されているとする。

${\displaystyle z=f(w)}$

ここで、fは点aにおいて解析的であり、wについて方程式を逆変換または解くことができ、それをべき級数^[1]で与えられた形で表すことができる。${\displaystyle f'(a)\neq 0.}$ ${\displaystyle w=g(z)}$

${\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},}$

どこ

${\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}$

定理はさらに、この級数がゼロでない収束半径を持つ、すなわち、の近傍におけるzの解析関数を表すと述べています。これは級数の逆転とも呼ばれます。 ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z=f(a).}$

解析性に関する主張を省略すると、式は形式的な冪級数に対しても有効であり、さまざまな方法で一般化できます。つまり、複数の変数を持つ関数に対して定式化できます。また、任意の解析関数Fに対してF ( g ( z ))の簡単な式を提供するために拡張できます。さらに、逆関数gが多値関数である場合に一般化できます。 ${\displaystyle f'(a)=0,}$

この定理はラグランジュ^[2]によって証明され、ハンス・ハインリヒ・ビュルマン[ ^{3] [4] [5]}によって一般化され、いずれも18世紀後半に行われた。複素解析と線積分を用いた直接的な導出があり^[6]、複素形式冪級数版は多項式の公式を知っていることの帰結であるため、解析関数の理論を適用することができる。実際には、解析関数の理論の仕組みはこの証明において形式的な方法でのみ導入される。つまり、本当に必要なのは形式的留数のある性質であり、より直接的な形式的証明が利用可能である。実際、ラグランジュの逆定理には、木を数える議論や帰納法を用いたものなど、かなり異なる追加の証明が数多くある。^{[7] [8] [9]}

fが形式的冪級数である場合、上記の式は、合成逆級数gの係数を級数fの係数を用いて直接与えることはできない。関数fとgを形式的冪級数で次のように 表すことができる。

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}}$

f ₀ = 0かつf ₁ ≠ 0のとき、逆係数の明示的な形はベル多項式で与えられる：^[10]

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\overline {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ and}}\\n^{\overline {k}}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}}$

は上昇階乗です。

f ₁ = 1のとき、最後の式は連想面体 の面の観点から解釈できる^[11]

${\displaystyle g_{n}=\sum _{F{\text{ face of }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,}$

連想面体の各面について${\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}}$ ${\displaystyle F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}}$ ${\displaystyle K_{n}.}$

例

例えば、p次の代数方程式

${\displaystyle x^{p}-x+z=0}$

は関数f ( x ) = x − x ^pのラグランジュ逆関数公式を用いてxについて解くことができ、正式な級数解が得られる。

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}$

収束テストにより、この級数は実際に に対して収束し、これはfの局所逆を定義できる 最大の円板でもあります。${\displaystyle |z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},}$

アプリケーション

ラグランジュ・ビュルマンの公式

ラグランジュの逆定理の特別な場合があり、これは組み合わせ論で使用され、 を満たす解析的な に対して適用される。を得ると、 の逆定理（ を満たす）に対して、 ${\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}$ ${\displaystyle \phi (w)}$ ${\displaystyle \phi (0)\neq 0.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle f(a)=f(0)=0.}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle f(g(z))\equiv z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}}$

これは次のようにも書ける。

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}$

ここで、 はwの関数のテイラー級数におけるの係数を抽出する演算子です。 ${\displaystyle [w^{r}]}$ ${\displaystyle w^{r}}$

この式の一般化はラグランジュ・ビュルマンの式として知られています。

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}$

ここで、Hは任意の解析関数です。

導関数H ′ ( w )は非常に複雑になることがあります。より簡単なバージョンでは、 H ′ ( w )をH ( w )(1− φ ′ ( w )/ φ ( w ))に置き換えて、

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}$

これはH ′ ( w )の代わりにφ ′ ( w )を使います。

ランバートW関数

ランバートW関数は、次の式によって暗黙的に定義される 関数である。${\displaystyle W(z)}$

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}$

この 定理を使って、 のテイラー級数を計算することができます。${\displaystyle W(z)}$ ${\displaystyle z=0.}$ ${\displaystyle f(w)=we^{w}}$ ${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},}$

これにより

${\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}$

この級数の収束半径は（ランバート関数の 主枝を与える）である。${\displaystyle e^{-1}}$

（近似的に）収束する級数は、級数の逆変換によっても導出できる。この関数は次式を満たす 。${\displaystyle |\ln(z)-1|<{\sqrt {4+\pi ^{2}}}}$ ${\displaystyle 0.0655<z<112.63}$ ${\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}$

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.}$

をべき級数に展開し、逆行列を求めることができる。^[12] これにより、${\displaystyle z+\ln(1+z)}$ ${\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}}$

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}$

${\displaystyle W(x)}$ は、上記の級数のzに代入することで計算できる。例えば、zに-1を代入すると、${\displaystyle \ln x-1}$ ${\displaystyle W(1)\approx 0.567143.}$

二分木

^{[13] の}ラベルなし二分木の集合を考えてみましょう。 の要素は、サイズが0の葉か、2つの部分木を持つ根ノードのいずれかです。をノード上の二分木の個数で表します。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

根を削除すると、二分木は2つの小さな木に分割されます。これにより、生成関数に関する関数方程式が得られます。${\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}$

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

とすると、次の式が得られる。この定理を に適用すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$ ${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}$ ${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}$

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}$

これは、 がn番目のカタラン数であることを示しています。 ${\displaystyle B_{n}}$

積分の漸近近似

ラプラス型積分の漸近近似を与えるラプラス・エルデイの定理では、関数の反転が重要なステップとして扱われます。

参照

• ファア・ディ・ブルーノの公式は、 2つの形式冪級数の合成係数を、それらの2つの級数の係数を用いて与える。これは、合成関数のn階微分を求める公式でもある。
• ラグランジュの逆定理は、逆定理とも呼ばれる別の定理である。
• 形式的冪級数 § ラグランジュ逆関数公式

参考文献

1. M. Abramowitz、IA Stegun編 (1972)「3.6.6. ラグランジュ展開」『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』ニューヨーク：ドーバー、p. 14。
2. ラグランジュ、ジョゼフ＝ルイ (1770)。 「新しい方法で、一連の流れを再構築する」。Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin : 251–326 .https://archive.org/details/uvresdelagrange18natigoog/page/n13 (注: ラグランジュは 1768 年にこの論文を提出しましたが、出版されたのは 1770 年でした。)
3. Bürmann、Hans Heinrich、「Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum」、1796 年にフランス国立研究所に提出。この記事の概要については、Hindenburg、Carl Friedrich 編を参照してください。 （1798年）。 「Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn Bürmann」 [単純化された分析の試み。ビュルマン氏による要約の抜粋]。Archiv der reinen und angewandten Mathematik [純粋数学と応用数学のアーカイブ]。 Vol. 2. ライプツィヒ、ドイツ: Schäferischen Buchhandlung。495–499ページ 。
4. Bürmann、Hans Heinrich、「Formules du développement, de retour et d'integration」、フランス国立研究所に提出。ビュルマンの原稿は、パリのエコール・ナショナル・デ・ポン・エ・ショセ［国立橋と道路学校］のアーカイブに残されている。 (メッセージ 1715 を参照してください。)
5. Joseph-Louis Lagrange と Adrien-Marie Legendre によるビュルマンの定理に関する報告書は次のとおりです。「Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann」、Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques、vol. 2、13～17ページ（1799年）。
6. E.T.ウィテカー、 G.N.ワトソン著『現代分析論』ケンブリッジ大学出版局、第4版（1927年1月2日）、129～130頁
7. リチャード、スタンレー (2012).列挙的組合せ論. 第1巻. ケンブリッジ大学上級数学. 第49巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-60262-5. MR  2868112。
8. Ira, Gessel (2016)、「ラグランジュ反転」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズA、144 : 212–249、ar​​Xiv : 1609.05988、doi :10.1016/j.jcta.2016.06.018  、MR3534068
9. Surya, Erlang; Warnke, Lutz (2023)、「帰納法によるラグランジュ逆行列公式」、アメリカ数学月刊誌、130 (10): 944– 948、arXiv : 2305.17576、doi :10.1080/00029890.2023.2251344、MR  4669236
10. 式 (11.43)、p. 437、CA Charalambides、『列挙的組合せ論』、 Chapman & Hall / CRC、2002年
11. アギア、マルセロ;アルディラ、フェデリコ（2017）。 「ホップモノイドと一般化された順列面体」。arXiv : 1709.07504 [math.CO]。
12. Corless, Robert M.; Jeffrey, David J.; Knuth, Donald E. (1997年7月). 「ランバートW関数の級数列」 . 1997年国際記号計算および代数計算シンポジウム議事録. pp.  197– 204. doi :10.1145/258726.258783.
13. ハリス, ジョン; ハースト, ジェフリー・L.; モッシングホフ, マイケル (2008).組合せ論とグラフ理論. シュプリンガー. pp.  185– 189. ISBN 978-0387797113。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ビュルマンの定理」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「級数反転」。MathWorld。
• Springer EOMの Bürmann–Lagrange 級数