ラグランジュの回帰定理
特定の暗黙関数のべき級数を与える

数学において、ラグランジュの回帰定理は、暗黙的に定義された特定の関数の級数展開または形式的な冪級数展開を与えます。また、そのような関数の合成の級数展開も与えます。

を別の関数の関数とし、 v {\displaystyle v} × {\displaystyle x} y {\displaystyle y} f {\displaystyle f}

v ＝ × + y f （ v ） {\displaystyle v=x+yf(v)}

すると、任意の関数 に対して、 が十分に小さいとき、次のようになります。 グラム {\displaystyle g} y {\displaystyle y}

グラム （ v ） ＝ グラム （ × ） + ∑ け ＝ 1 ∞ y け け ! （ ∂ ∂ × ） け − 1 （ f （ × ） け グラム ′ （ × ） ） 。 {\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial}{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right).}

特に、が恒等関数である場合、これは次のように帰納される。 グラム {\displaystyle g} グラム （ × ） ＝ × {\displaystyle g(x)=x}

v ＝ × + ∑ け ＝ 1 ∞ y け け ! （ ∂ ∂ × ） け − 1 （ f （ × ） け ） 、 {\displaystyle v=x+\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial}{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}\right),}

その場合、摂動法を使って方程式を導くことができます。

1770年、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ（1736–1813）は、上述の陰方程式のべき級数解を発表しました。しかし、彼の解は対数の級数展開という煩雑な手法を用いていました。[1] [2] 1780年、ピエール＝シモン・ラプラス（1749–1827）は、変数とパラメータに関する偏微分の関係に基づいた、より簡潔な定理の証明を発表しました。[3] [4] [5]シャルル・エルミート（1822–1901）は、等高線積分を用いて、この定理の最も簡潔な証明を提示しました。[6] [7] [8] v {\displaystyle v} × {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

ラグランジュの反転定理はケプラーの方程式の数値解を得るために使用されます。

簡単な証明

まずは書くことから始めます

グラム （ v ） ＝ ∫ δ （ y f （ z ） − z + × ） グラム （ z ） （ 1 − y f ′ （ z ） ） d z 。 {\displaystyle g(v)=\int \delta (yf(z)-z+x)g(z)(1-yf'(z))\,dz.}

デルタ関数を積分として 書くと次のようになります。

グラム （ v ） ＝ ∬ 経験 ⁡ （ 私 け [ y f （ z ） − z + × ] ） グラム （ z ） （ 1 − y f ′ （ z ） ） d け 2 π d z ＝ ∑ n ＝ 0 ∞ ∬ （ 私 け y f （ z ） ） n n ! グラム （ z ） （ 1 − y f ′ （ z ） ） e 私 け （ × − z ） d け 2 π d z ＝ ∑ n ＝ 0 ∞ （ ∂ ∂ × ） n ∬ （ y f （ z ） ） n n ! グラム （ z ） （ 1 − y f ′ （ z ） ） e 私 け （ × − z ） d け 2 π d z {\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\iint \exp(\mathrm {i} k[yf(z)-z+x])g(z)(1-yf'(z))\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\iint {\frac {(\mathrm {i} kyf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k(xz)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\部分的x}}\right)^{n}\iint {\frac {(yf(z))^{n}}{n!}}g(z)(1-yf'(z))\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k(xz)}\,{\frac {dk}{2\pi }}\,dz\end{aligned}}}

を積分すると次のようになります。 け {\displaystyle k} δ （ × − z ） {\displaystyle \delta (xz)}

グラム （ v ） ＝ ∑ n ＝ 0 ∞ （ ∂ ∂ × ） n [ （ y f （ × ） ） n n ! グラム （ × ） （ 1 − y f ′ （ × ） ） ] ＝ ∑ n ＝ 0 ∞ （ ∂ ∂ × ） n [ y n f （ × ） n グラム （ × ） n ! − y n + 1 （ n + 1 ） ! { （ グラム （ × ） f （ × ） n + 1 ） ′ − グラム ′ （ × ） f （ × ） n + 1 } ] {\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}}

合計を並べ替えて取り消すと、次の結果が得られます。

グラム （ v ） ＝ グラム （ × ） + ∑ け ＝ 1 ∞ y け け ! （ ∂ ∂ × ） け − 1 （ f （ × ） け グラム ′ （ × ） ） {\displaystyle g(v)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial}{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right)}

参考文献

  1. ^ Lagrange、Joseph Louis (1770) 「Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries」、Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin、vol. 24、251～326ページ。 (オンラインで入手可能: [1] )
  2. ^ Lagrange、Joseph Louis、 Oeuuvres、[パリ、1869]、Vol. 2、25ページ。 Vol. 3、3 ～ 73 ページ。
  3. ^ ラプラス、ピエール・シモン・ド (1777) 「Mémoire sur l'usage du calcul aux différences Partielles dans la théories des suites」、 Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris、 vol. 、99〜122ページ。
  4. ^ ラプラス、ピエール・シモン・ド、作品集[パリ、1843]、Vol. 9、313～335ページ。
  5. ^ ラプラスの証明は次のように示されている:
    • グルサ、エドゥアール『数学解析学講座』（ERヘドリック、O.ダンケル訳）[NY、NY：ドーバー、1959]、第1巻、404～405ページ。
  6. ^ Hermite、Charles (1865) 「Sur quelques développements en série de fonctions de plusieurs variables」、 Comptes Rendus de l'Académie des Sciences des Paris、vol. 60、1 ～ 26 ページ。
  7. ^ エルミート、シャルル、作品集[パリ、1908]、Vol. 2、319～346ページ。
  8. ^ エルミートの証明は次のように提示されている:
    • グルサ、エドゥアール『数学解析学講座』（ERヘドリック、O.ダンケル訳）[NY、NY：ドーバー、1959]、第2巻、第1部、106～107ページ。
    • ET WhittakerとGN Watson著『現代分析論』第4版[ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局、1962年]132～133ページ。
  • MathWorldのラグランジュ逆定理[逆変換]
  • コーニッシュ・フィッシャー展開、定理の応用
  • 均時差に関する記事にはケプラーの方程式への応用が含まれています。
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