シンプレクティックベクトル空間

数学において、シンプレクティックベクトル空間は、シンプレクティック双線型形式を備えた体（たとえば実数）上のベクトル空間 です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

シンプレクティック双線型形式とは 、${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$

双線形

各引数ごとに線形です。

交互

${\displaystyle \omega (v,v)=0}$ すべてに当てはまります。そして${\displaystyle v\in V}$

非退化

${\displaystyle \omega (v,u)=0}$ すべて に対しては を意味します。${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle u=0}$

基底体の標数が2でない場合、交代は歪対称性と同値である。標数が2の場合、歪対称性は によって暗示されるが、交代性は によって暗示されるわけではない。この場合、すべてのシンプレクティック形式は対称形式であるが、その逆は成り立たない。

固定基底で作業する場合、は行列で表すことができます。上記の条件は、この行列が歪対称、非特異、中空（すべての対角要素がゼロ）であることと等価です。これを、空間のシンプレクティック変換を表すシンプレクティック行列と混同しないでください。が有限次元の場合、奇数サイズの歪対称中空行列はすべて行列式がゼロになるため、その次元は必然的に偶数でなければなりません。体の標数が 2 でない限り、行列が中空であるという条件は不要であることに注意してください。シンプレクティック形式は、ユークリッドベクトル空間上のスカラー積などの対称形式とはまったく異なる動作をします。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V}$

標準シンプレクティック空間

標準シンプレクティック空間は、特異でない歪対称行列によって与えられるシンプレクティック形式を持つ。典型的には、ブロック行列が選択される。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

ここで、I _nはn × nの単位行列です。基底ベクトル( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n )に関して、

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})&=\delta _{ij},\\\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})&=0.\end{aligned}}}$

グラム・シュミット過程の修正版は、任意の有限次元シンプレクティックベクトル空間に、この形式を取る基底（ダルブー基底またはシンプレクティック基底と呼ばれることが多い）が存在することを示しています。 ${\displaystyle \omega }$

プロセスの概要:

任意の基底 から始め、各基底ベクトルの双対を双対基底で表します。これにより、 要素を持つ行列が得られます。その零空間を解きます。零空間内の任意の に対して となるので、零空間は退化した部分空間 を与えます。 ${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$ ${\displaystyle \omega (v_{i},\cdot )=\sum _{j}\omega (v_{i},v_{j})v_{j}^{*}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},...,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i}\omega (v_{i},\cdot )=0}$ ${\displaystyle V_{0}}$

ここで、となる補集合を任意に選び、を の基底とします。、 、 なので、 WLOG です。ここで、 となるようにスケールします。次に、のそれぞれについてを定義します。これを繰り返します。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=V_{0}\oplus W}$ ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})=1}$ ${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$ ${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$

この方法は、実数体だけでなく、任意の体上のシンプレクティックベクトル空間に適用されることに注意してください。

実数体または複素数体の場合:

空間が実数体上にある場合、修正グラム・シュミット過程を次のように修正できます。まず同じ方法で開始します。を の（ 上の通常の内積に関して）直交基底とします。、 、なので、 WLOG です。次に を符号で乗じて とします。次にのそれぞれについてを定義し、ノルムが1になるように それぞれをスケーリングします。これを繰り返します。${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\geq 0}$ ${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$ ${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$ ${\displaystyle w'}$

同様に、複素数体に対してもユニタリ基底を選ぶことができます。これは反対称行列のスペクトル理論を証明します。

ラグランジアン形式

この標準的なシンプレクティック形式を解釈する別の方法があります。上で用いたモデル空間R ^{2 n}は多くの標準的な構造を持ち、誤解を招きやすいため、代わりに「匿名」ベクトル空間を用います。Vをn次元の実ベクトル空間とし、V ^{∗ を}その双対空間とします。ここで、これらの空間の直和W = V ⊕ V ^{∗ が}以下の形式を備えていること を考えます。

${\displaystyle \omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y)。}$

ここで、 Vの任意の基底（v ₁、...、v _n）を選択し、その双対基底を考える。

${\displaystyle \left(v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\right).}$

x _i = ( v _i , 0) およびy _i = (0, v _i ^∗ )と書けば、基底ベクトルはWに属すると解釈できる。これらを合わせると、Wの完全な基底が構成される。

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).}$

ここで定義された形式ω は、この節の冒頭で示したものと同じ性質を持つことを示すことができる。一方、すべてのシンプレクティック構造は、形式V ⊕ V ^∗のいずれかに同型である。部分空間Vは一意ではなく、部分空間Vの選択は分極と呼ばれる。このような同型を与える部分空間は、ラグランジアン部分空間、あるいは単にラグランジアンと呼ばれる。

明示的には、以下に定義されるラグランジュ部分空間が与えられた場合、基底( x ₁、...、x _n )の選択によって、 ω ( x _i、y _j ) = δ _ijにより補空間の双対基底が定義されます。

複雑な構造との類似性

あらゆるシンプレクティック構造がV ⊕ V ^{∗ の}形式のいずれかに同型であるのと同様に、ベクトル空間上のあらゆる複素構造はV ⊕ Vの形式のいずれかに同型です。これらの構造を用いると、n多様体の接束は2 n多様体として考えた場合、ほぼ複素構造を持ち、n多様体の余接束は2 n多様体として考えた場合、シンプレクティック構造T _∗ ( T ^∗ M ) _p = T _p ( M ) ⊕ ( T _p ( M )) ^{∗ を}持ちます。

ラグランジュ部分空間の複素類似物は実部分空間であり、その複素化が空間全体となる部分空間である： W = V ⊕ J V。上記の標準シンプレクティック形式から分かるように、R ^{2 n}上のすべてのシンプレクティック形式は、 C ⁿ上の標準複素（エルミート）内積の虚部と同型である（ただし、第一引数は反線形であるという慣例に従う）。

ボリューム形式

ω をn次元実ベクトル空間V上の交代双線型形式とし、ω ∈ Λ ² ( V )とする。このとき、ωが非退化であるためには、n が偶数であり、ω ^{n /2} = ω ∧ ... ∧ ωが体積形式となる必要がある。n次元ベクトル空間V上の体積形式は、 n形式e ₁ ^∗ ∧ ... ∧ e _n ^∗の非零倍である。ここでe ₁ , e ₂ , ..., e _{n は}Vの基底である。

前のセクションで定義した標準基底については、

${\displaystyle \omega ^{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}x_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge y_{n}^{*}.}$

順序を変えると、

${\displaystyle \omega ^{n}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.}$

標準的な体積形式として、著者らはω ⁿまたは (−1) ^{n /2} ω ^{n を}様々に定義しています。交代積の定義にn !の因子が含まれるかどうかに応じて、 n ! の因子が時々現れることもあります。体積形式は、シンプレクティックベクトル空間( V , ω )上の向きを定義します。

シンプレクティックマップ

( V , ω )と( W , ρ )がシンプレクティックベクトル空間であるとする。線型写像f  : V → Wは、引き戻しがシンプレクティック形式を保存する、すなわち f ∗ ρ = ω となるとき、シンプレク^ティック写像と呼ばれる。ここで、引き戻し形式は( f ^∗ ρ )( u , v ) = ρ ( f ( u ), f ( v ))で定義される。シンプレクティック写像は体積と方向を保存する。

シンプレクティック群

V = Wの場合、シンプレクティック写像はVの線型シンプレクティック変換と呼ばれる。特にこの場合、ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v )となるため、線型変換fはシンプレクティック形式を保存する。すべてのシンプレクティック変換の集合は群、特にリー群を形成し、これはシンプレクティック群と呼ばれ、 Sp( V ) またはSp( V , ω )と表記される。行列形式では、シンプレクティック変換はシンプレクティック行列によって与えられる。

部分空間

W をVの線型部分空間とする。Wのシンプレクティック補空間を次の部分空間と 定義する。

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ for all }}w\in W\}.}$

シンプレクティック補集合は次を満たします:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W^{\perp }\right)^{\perp }&=W\\\dim W+\dim W^{\perp }&=\dim V.\end{aligned}}}$

しかし、直交補集合とは異なり、W⊥∩W^{は0である必要はありません}。4つのケースを区別します。

• Wがシンプレクティック空間であるとは、W ^⊥ ∩ W = {0 } のときである。これは、ω がW上の非退化形式に制限される場合にのみ 成り立つ。制限形式を持つシンプレクティック部分空間は、それ自体がシンプレクティックベクトル空間である。
• W ⊆ W ^⊥のとき、Wは等方的である。これは、 ω がW上で 0 に制限されるときのみ真である。任意の1次元部分空間は等方的である。
• Wが共等方的であるのは、W ^⊥ ⊆ Wのときである。Wが共等方的であるためには、ω が商空間W / W ^⊥上で非退化形式に降下する必要がある。同様に、 Wが共等方的であるためには、W ^{⊥が等方的である必要がある。}任意の余次元が-1 の部分空間は共等方的である。
• Wがラグランジアンであるとは、W = W ^{⊥ の}ときである。部分空間がラグランジアンとなるのは、それが等方的かつ共等方的である場合に限る。有限次元ベクトル空間において、ラグランジアン部分空間は、その次元がVの半分である等方的な部分空間である。すべての等方的部分空間はラグランジアン部分空間に拡張できる。

上記の標準ベクトル空間R ^{2 n}を参照すると、

• { x ₁ , y ₁ }が張る部分空間はシンプレクティックである
• { x ₁ , x ₂ }が張る部分空間は等方性である
• { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ }によって張られる部分空間は共等方性である
• { x ₁ , x ₂ , ..., x _n }によって張られる部分空間はラグランジアンである。

補空間演算は、互いに相補的な次元を持つ等方性部分空間と共等方性部分空間を交換する演算です。具体的には、任意の直線をそれを含む超平面に補空間化し、その後、再び補空間化します。

すべての非零ベクトルは、任意の2つの非零ベクトルがVの線形シンプレクティック変換によって関連付けられるという点で同じである。つまり、ベクトルの唯一のシンプレクティック不変量は、それが非零であることである。同様に、ベクトル が与えられ、 ならば、に写像されるシンプレクティック変換が存在する。つまり、順序付きベクトル対の唯一のシンプレクティック不変量は、そのシンプレクティック面積である。^{[ 1 ]}${\displaystyle u,v,u',v'}$ ${\displaystyle \omega (u\wedge v)=\omega (u'\wedge v')}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle (u',v')}$

ハイゼンベルク群

ハイゼンベルク群は任意のシンプレクティックベクトル空間に対して定義することができ、これがハイゼンベルク群が生じる典型的な方法です。

ベクトル空間は、可換リー群（加法に関して）、あるいはそれと同値な可換リー代数（自明なリー括弧を持つ）と考えることができる。ハイゼンベルク群は、このような可換リー群／代数の中心的な拡張である。シンプレクティック形式は、正準交換関係（CCR）と同様に交換を定義し、ダルブー基底は正準座標、 つまり物理学用語で言えば運動量演算子と位置演算子に対応する。

実際、ストーン・フォン・ノイマンの定理によれば、CCR を満たすすべての表現 (ハイゼンベルク群のすべての表現) はこの形式であり、より正確には、標準の表現とユニタリ共役です。

さらに、ベクトル空間（の双対）の群代数は対称代数であり、ハイゼンベルク群（の双対）の群代数はワイル代数です。中心拡張は量子化または変形に対応するものと考えることができます。

形式的には、体F上のベクトル空間Vの対称代数は、双対の群代数Sym( V ) := F [ V ^∗ ]であり、ワイル代数は（双対）ハイゼンベルク群W ( V ) = F [ H ( V ^∗ )]の群代数である。群代数への移行は反変関数であるため、中心拡大写像H ( V ) → Vは包含Sym( V ) → W ( V )となる。

参照

• シンプレクティック多様体は、各接空間上で滑らかに変化するシンプレクティック形式を持ち、局所積分条件も満たす滑らかな多様体です。
• マスロフ指数
• シンプレクティック束は、各ファイバー上に滑らかに変化するシンプレクティック形式を備えたベクトル束です。
• シンプレクティック表現は、各グループ要素がシンプレクティック変換として機能するグループ表現です。

参考文献

1. Eslami Rad, Anahita (2024), Eslami Rad, Anahita (ed.), "Symplectic Linear Algebra" , Symplectic and Contact Geometry: A Concise Introduction , Cham: Springer Nature Switzerland, pp.  1– 38, doi : 10.1007/978-3-031-56225-9_1 , ISBN 978-3-031-56225-9

• クロード・ゴドビヨン(1969) 「幾何学の違いと機械的分析」、ヘルマン
• アブラハム、ラルフ、マースデン、ジェロルド・E. (1978). 「ハミルトン系とラグランジアン系」『力学の基礎』 （第2版）ロンドン：ベンジャミン・カミングス社、pp.  161– 252. ISBN 0-8053-0102-X。PDF
• ポレット・リベルマンとシャルル＝ミシェル・マール（1987）「シンプレクティック幾何学と解析力学」D.ライデル
• ジャン＝マリー・スーリオ（1997）「力学系の構造、シンプレクティックな物理学の視点」、シュプリンガー