ラゲール式

ラゲールの公式（エドモン・ラゲールにちなんで名付けられた）は、2つの真実数直線間の鋭角を次のように定義します。 ^{[1] [2]}${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi =|{\frac {1}{2i}}\operatorname {Log} \operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})|}$

どこ：

• ${\displaystyle \operatorname {ログ} }$ 複素対数の主値である
• ${\displaystyle \operatorname {Cr} }$ 4つの同一直線上の点の交差比である
• ${\displaystyle P_{1}}$ そして、直線の無限遠点である。${\displaystyle P_{2}}$
• ${\displaystyle I_{1}}$ および は、方程式 を持つ絶対円錐曲線と、およびを結ぶ直線との交点です。${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle x_{0}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

縦棒の間の式は実数です。

ラゲールの式はコンピューター ビジョンで役立ちます。絶対円錐は、カメラの変位に対して不変の網膜面上の像を持ち、4 つの共線上の点の複比は網膜面上の像で同じだからです。

導出

これらの直線は原点を通ると仮定できる。等長変換は絶対円錐不変量を維持するため、最初の直線をx軸とし、2番目の直線をz = 0平面上にとることができる。上記の4点の 同次座標は、

${\displaystyle (0,1,i,0),\ (0,1,-i,0),\ (0,1,0,0),\ (0,\cos \phi ,\pm \sin \phi ,0),}$

それぞれ、平面z = 0の無限遠直線上の非同次座標は、、、0、です。（とを交換すると、複比はその逆数に変わるので、の公式は同じ結果を与えます。）複比の公式から、 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle \pm \sin \phi /\cos \phi }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})=-{\frac {-i\cos \phi \pm \sin \phi }{i\cos \phi \pm \sin \phi }}=e^{\pm 2i\phi }.}$

参考文献

1. リヒター＝ゲバート、ユルゲン（2011年2月4日）. 射影幾何学の展望：実幾何学と複素幾何学のガイドツアー. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. pp. 342–. ISBN 9783642172861. 2014年9月18日閲覧。
2. フィッシャー, ロバート・B.; ブレコン, トビー・P.; ドーソン＝ハウ, ケネス; アンドリュー・フィッツギボン; クレイグ・ロバートソン; エマヌエーレ・トゥルッコ; クリストファー・K・I・ウィリアムズ (2013年11月8日). コンピュータビジョンと画像処理辞典. Wiley. pp. 148–. ISBN 9781118706800. 2014年9月18日閲覧。

• O. フォージェラス『3次元コンピュータビジョン』MIT出版、ケンブリッジ、ロンドン、1999年。