ラムダ真空ソリューション

Einstein field equation solution

一般相対論において、ラムダ真空解とは、応力エネルギーテンソルの唯一の項が宇宙定数項であるアインシュタイン場の方程式の厳密解である。これは物理的には、非ゼロの真空エネルギーに対する一種の古典的近似として解釈できる。ここでは、これらを、宇宙定数がゼロとなる真空解とは区別して議論する。

用語に関する注意: この記事は標準的な概念に関するものですが、この概念を表す標準的な用語が存在しないようです。そこで、 Wikipediaのために標準的な用語を提供しようと試みました。

意味

アインシュタイン場の方程式は、いわゆる宇宙定数項⁠ ⁠ を用いて ⁠ ⁠と表記されることが多い。しかし、この項を右辺に移動して応力エネルギーテンソル⁠ ⁠に吸収させることで、宇宙定数項は応力エネルギーテンソルへの単なる寄与となる。このテンソルへの他の寄与がゼロになると、結果はラムダ真空となる。リッチテンソルを用いた同等の定式化は、時空次元⁠ ⁠、または時空次元⁠ ⁠である。 $G_{ab}+\Lambda \,g_{ab}=\kappa \,T_{ab},$ $\Lambda \,g_{ab}$ $T^{ab}$ $G_{ab}=-\Lambda \,g_{ab}$ $R_{ab}=\Lambda g_{ab}$ $4$ $R_{ab}={\tfrac {2}{n-2}}\Lambda g_{ab}$ $n$

物理的な解釈

非ゼロの宇宙定数項は、非ゼロの真空エネルギーの観点から解釈することができる。これには2つのケースがある。

$\Lambda >0$ : 正の真空エネルギー密度と負の等方性真空圧力（ド・ジッター空間の場合と同様）
$\Lambda <0$ :反ド・ジッター空間と同様に、負の真空エネルギー密度と正の等方性真空圧力。

真空のエネルギー密度がゼロではないという考えは直感に反するように思えるかもしれないが、量子場の理論では理にかなっている。実際、真空のエネルギーがゼロではないことは、カシミール効果において実験的に検証されている。

アインシュタインテンソル

座標基底ではなくフレーム場に関して計算されるテンソルの成分は、しばしば物理成分と呼ばれます。これは、これらの成分が（原理的には）観測者によって測定可能な成分であるためです。フレームは4つの単位ベクトル場から構成されます。ここで、最初のベクトル場は時間的単位ベクトル場であり、他のベクトル場は空間的単位ベクトル場です。そして、フレームは、観測者族（必ずしも慣性観測者ではない）の世界線に対して、あらゆる点で直交します。 ${\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}$ ${\vec {e}}_{0}$

注目すべきことに、ラムダ真空の場合、すべての観測者が同じエネルギー密度と同じ（等方的な）圧力を測定します。つまり、アインシュタインテンソルは次の形をとります。このテンソルがすべての観測者に対して同じ形をとるということは、ラムダ真空の等方性群が $O(1,3)$ 、つまり完全なローレンツ群であると言うことと同じです。 $G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=-\Lambda {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

固有値

ラムダ真空のアインシュタインテンソルの特性多項式は、次の形式でなければなりません。ニュートンの恒等式を使用すると、この条件は、アインシュタインテンソルのべき乗のトレースで次のように再表現できます。ここで、は、2 階のアインシュタインテンソルに対応する線形演算子のべき乗のトレースです。 $\chi (\zeta )=\left(\zeta +\Lambda \right)^{4}.$ $t_{2}={\tfrac {1}{4}}t_{1}^{2},\;t_{3}={\tfrac {1}{16}}t_{1}^{3},\;t_{4}={\tfrac {1}{64}}t_{1}^{4}$ ${\begin{aligned}t_{1}&={G^{a}}_{a},&t_{2}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\\t_{3}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},&t_{4}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}\end{aligned}}$