ランバートの問題

天体力学において、ランベルトの問題は、2つの位置ベクトルと飛行時間から軌道を決定する問題であり、18世紀にヨハン・ハインリヒ・ランベルトによって提起され、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって数学的証明によって正式に解決されました。この問題は、ランデブー、目標設定、誘導、予備軌道決定の分野で重要な応用があります。^[1]

中心重力の影響下にある物体が、円錐軌道上の点P ₁から点P ₂まで、時間Tで移動すると仮定する。飛行時間は、ランバートの定理によって他の変数と関連しており、次のように示される。

円錐軌道上の2点間を移動する物体の移動時間は、力の原点からの2点の距離の合計、2点間の直線距離、円錐の長半径のみの関数である。^[2]

言い換えると、ランバートの問題は、一方の物体の質量が無限小である場合の二体問題 の微分方程式の境界値問題です。二体問題のこのサブセットは、ケプラー軌道として知られています。 $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-\mu {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$

ランバートの問題の正確な定式化は次のとおりです。

2 つの異なる時間と 2 つの位置ベクトルが与えられます。 ${\displaystyle t_{1},\,t_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=r_{1}{\hat {\mathbf {r} }}_{1},\,\mathbf {r} _{2}=r_{2}{\hat {\mathbf {r} }}_{2}}$

上記の微分方程式を満たす 解を求めよ。${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t_{1})=\mathbf {r} _{1}\\\mathbf {r} (t_{2})=\mathbf {r} _{2}\end{aligned}}}$$

初期の幾何学的解析

図1:は引力の中心、はベクトル に対応する点、 はベクトル に対応する点です。${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$

図2: 点と点を焦点とする双曲線${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

図3: とを焦点とし、とを通過する楕円${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

3つのポイント

• ${\displaystyle F_{1}}$ 、魅力の中心、
• ${\displaystyle P_{1}}$ 、ベクトルに対応する点、${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$
• ${\displaystyle P_{2}}$ 、ベクトルに対応する点、${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$

図1に示すように、ベクトルとによって定義される平面に三角形を形成します。点との距離は、点との距離は、点との距離はです。値は、点と点のうちどちらが点から最も遠いかによって正または負になります。解くべき幾何学的問題は、点と点を通り、点を焦点とするすべての楕円を見つけることです。${\displaystyle {\bar {r}}_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}=r_{m}-A}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}=r_{m}+A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

点 、、は、点 を通り、点 とを焦点とする双曲線を定義します。 の符号に応じて、点は双曲線の左枝または右枝のいずれかにあります。この双曲線の長半径は、離心率は です。この双曲線は図2に示されています。 ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle E}$ ${\textstyle {\frac {d}{|A|}}}$

双曲線の長軸と短軸によって定義される通常の標準座標系を基準とすると、その方程式は

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}-{\frac {y^{2}}{B^{2}}}=1}$$

1

と

$${\displaystyle B=|A|{\sqrt {E^{2}-1}}={\sqrt {d^{2}-A^{2}}}}$$

2

双曲線の同じ枝上の任意の点について、点までの距離と点までの距離の差は ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2A}$$

3

双曲線の もう一方の枝上の任意の点に対応する関係は${\displaystyle F_{2}}$

$${\displaystyle s_{1}-s_{2}=2A}$$

4

すなわち

$${\displaystyle r_{1}+s_{1}=r_{2}+s_{2}}$$

5

しかし、これは、点とが焦点と長半径を 持つ楕円上にあることを意味します。${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {r_{1}+s_{1}}{2}}={\frac {r_{2}+s_{2}}{2}}}$$

6

任意に選択した点に対応する楕円が図 3 に表示されます。 ${\displaystyle F_{2}}$

仮定した楕円遷移軌道の解

最初のものは、軌道極が方向にある場合と 方向にある場合を区別します。前者の場合、最初の通過時の移行角は間隔 内となり、後者の場合、移行角は 間隔 内となります。その後、 は軌道を公転するたびに を通過し続けます。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle -\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle 0<\alpha <180^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$

がゼロの場合、つまりと が反対方向の場合、対応する線を含むすべての軌道面は等しく適切であり、を最初に通過するときの転送角度はになります。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\bar {r}}_{2}}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$

、およびによって形成される三角形を持つ任意の三角形について、図1のようになります。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0<\alpha <\infty }$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

$${\displaystyle d={\frac {\sqrt {{r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \alpha }}{2}}}$$

7

そして、上で述べた双曲線の長半径（符号付き！）は

$${\displaystyle A={\frac {r_{2}-r_{1}}{2}}}$$

8

双曲線の離心率（符号付き）は

$${\displaystyle E={\frac {d}{A}}}$$

9

そして短半径は

$${\displaystyle B=|A|{\sqrt {E^{2}-1}}={\sqrt {d^{2}-A^{2}}}}$$

10

双曲線の標準座標系における点の座標は（の符号を持つことに注意） ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r_{2}-r_{1}}$

$${\displaystyle x_{0}=-{\frac {r_{m}}{E}}}$$

11

$${\displaystyle y_{0}=B{\sqrt {{\left({\frac {x_{0}}{A}}\right)}^{2}-1}}}$$

12

どこ

$${\displaystyle r_{m}={\frac {r_{2}+r_{1}}{2}}}$$

13

双曲線のもう一方の枝上の点のy座標を自由パラメータとして用いると、 のx座標は（の符号を持つことに注意） ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r_{2}-r_{1}}$

$${\displaystyle x=A{\sqrt {1+{\left({\frac {y}{B}}\right)}^{2}}}}$$

14

点を通り、焦点を持つ楕円の長半径は 、${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

$${\displaystyle a={\frac {r_{1}+s_{1}}{2}}={\frac {r_{2}+s_{2}}{2}}={\frac {r_{m}+Ex}{2}}}$$

15

焦点間の距離は

$${\displaystyle {\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}}$$

16

そしてその偏心は

$${\displaystyle e={\frac {\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}{2a}}}$$

17

点における真の異常値は運動の方向、すなわち正か負かによって決まる。どちらの場合も、 ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \sin \alpha }$

$${\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\frac {(x_{0}+d)f_{x}+y_{0}f_{y}}{r_{1}}}}$$

18

どこ

$${\displaystyle f_{x}={\frac {x_{0}-x}{\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}}}$$

19

$${\displaystyle f_{y}={\frac {y_{0}-y}{\sqrt {{(x_{0}-x)}^{2}+{(y_{0}-y)}^{2}}}}}$$

20

は、標準座標で表された からへの方向の単位ベクトルです。${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

が正であれ ば${\displaystyle \sin \alpha }$

$${\displaystyle \sin \theta _{1}={\frac {(x_{0}+d)f_{y}-y_{0}f_{x}}{r_{1}}}}$$

21

が負の 場合${\displaystyle \sin \alpha }$

$${\displaystyle \sin \theta _{1}=-{\frac {(x_{0}+d)f_{y}-y_{0}f_{x}}{r_{1}}}}$$

22

と

• 長半径
• 偏心
• 初期の真の異常

yはパラメータyの既知の関数であるため、真の異常値がyの既知の関数として増加する時間もyの既知の関数です。yが楕円ケプラー軌道で得られる範囲内にある場合、対応するy値は反復アルゴリズムを用いて求めることができます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$

特別な場合（または非常に近い場合）には、2つの枝を持つ双曲線は、との間の直線に直交する1本の直線になり、方程式は ${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

$${\displaystyle x=0}$$

1'

式（１１）と式（１２）は次のように置き換えられる。

$${\displaystyle x_{0}=0}$$

11'

$${\displaystyle y_{0}={\sqrt {{r_{m}}^{2}-d^{2}}}}$$

12フィート

（１４）は

$${\displaystyle x=0}$$

14フィート

そして（１５）は次のように置き換えられる。

$${\displaystyle a={\frac {r_{m}+{\sqrt {d^{2}+y^{2}}}}{2}}}$$

15フィート

数値例

図4: yが-20000 kmから50000 kmまで変化したときの、* r 1 = 10000 km * r 2 = 16000 km * α = 120°のときの伝達時間。伝達時間は、y = -20000 kmのときの20741秒から、y = 50000 kmのときの2856秒まで減少します。2856秒_から20741秒_までの任意の値について、ランバート問題は-20000 kmから50000 kmまでのy値を使用して解くことができます。

地球中心のケプラー軌道について以下の値を仮定する

• r ₁ = 10000 km
• r ₂ = 16000 km
• α = 100°

これらは図1、図2、図3に対応する数値です。

パラメータyを30000 kmとすると、重力定数を398603 km ³ /s ²と仮定すると、転送時間は3072秒となる。対応する軌道要素は以下の通りである。 ${\displaystyle \mu }$

• 長半径 = 23001 km
• 離心率 = 0.566613
• 時刻t ₁における真の異常度= −7.577°
• 時刻t ₂における真の異常= 92.423°

このy値は図 3 に対応します。

と

• r ₁ = 10000 km
• r ₂ = 16000 km
• α = 260°

運動の方向が逆であれば同じ楕円が得られる。つまり

• 時刻t ₁における真の異常= 7.577°
• 時刻t ₂における真の異常度= 267.577° = 360° − 92.423°

転送時間は31645秒です。

半径方向と接線方向の速度成分は、次の式で計算できる（ケプラー軌道の記事を参照）。 $${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\,e\sin(\theta )}$$ $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\left(1+e\cos \theta \right).}$$

yの他の値に対するP _1からP ₂への転送時間は、図 4 に示されています。

実用的な応用

ランバート問題を解くこのアルゴリズムの最も典型的な用途は、間違いなく惑星間ミッションの設計です。地球から例えば火星へ向かう宇宙船は、第一近似として、打ち上げ時の地球の位置から到着時の火星の位置まで、太陽中心の楕円ケプラー軌道をたどると見なすことができます。この太陽中心のケプラー軌道の最初と最後の速度ベクトルを、地球と火星の対応する速度ベクトルと比較することで、必要な打ち上げエネルギーと、火星での捕捉に必要な操作のかなり正確な推定値を得ることができます。このアプローチは、パッチ円錐近似と組み合わせて使用​​されることがよくあります。

これは軌道決定法でもあります。異なる時刻における宇宙船の2つの位置が（例えばGPSによる位置測定によって）高い精度で分かっている場合、このアルゴリズムを用いて完全な軌道を導き出すことができます。つまり、これら2つの位置測定結果の内挿と外挿が得られるのです。

移動軌跡のパラメータ化

1 つのパラメータを使用して、2 つの点を通過するすべての可能な軌道をパラメータ化することができます。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$

半直腸は次のように表される。${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p={\frac {\left(\left|\mathbf {r} _{1}\right|+\left|\mathbf {r} _{2}\right|\right)\left(\left|\mathbf {r} _{1}\right|\left|\mathbf {r} _{2}\right|-\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2}+\gamma {\hat {\mathbf {N} }}\cdot (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2})\right)}{\left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right|^{2}}}}$$

離心率ベクトルは、軌道の法線で与えられます。2つの特別な値が あります。 ${\displaystyle \mathbf {e} }$ $${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\left(\left(|\mathbf {r} _{1}|-|\mathbf {r} _{2}|\right)\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right)-\gamma \left(r_{1}+r_{2}\right){\hat {\mathbf {N} }}\times (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\right)}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{2}}}}$$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {N} }}=\pm {\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}\right|}}}$ ${\displaystyle \gamma }$

極値：${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \gamma _{0}=-{\frac {\left|\mathbf {r} _{1}\right|\left|\mathbf {r} _{2}\right|-\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2}}{{\hat {\mathbf {N} }}\cdot (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2})}}}$$

放物線を描くもの：${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \gamma _{p}={\frac {\sqrt {2\left(\left|\mathbf {r} _{1}\right|\left|\mathbf {r} _{2}\right|-\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2}\right)}}{\left|\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\right|}}}$$

オープンソースコード

• MATLABセントラルより
• PyKEP は、宇宙飛行力学と天体力学のための Python ライブラリです (Lambert ソルバーが含まれており、C++ で実装され、boost python 経由で Python に公開されています)。
• Microsoft Excel のシンプルな 2 次元 Lambert ソルバー/軌道プロッター

参考文献

1. ER Lancaster & RC Blanchard、「ランバートの定理の統一形」、ゴダード宇宙飛行センター、1968年
2. ジェームズ・F・ジョーダン、「ランバートの定理の惑星間輸送問題の解決への応用」、ジェット推進研究所、1964年

外部リンク

• アフィンレンズを通して見たランバートの定理。アラン・アルブイによる論文。ランバートの問題に関する現代的な議論と歴史的年表が含まれています。arXiv : 1711.03049
• 軌道力学におけるランバートの問題：自己完結的な入門書。レノックス・バログルー、パルニート・ギル、トナティウ・サンチェス＝ヴィズエットによる論文で、ラグランジュの解法に至る問題の詳細な解説が提示されている。この解説書は、物理学と数学の最低限の知識を前提としている。arXiv : 2506.10556
• 点を繋ぐ…2点間のあらゆる軌道を見つける。Eur. J. Phys. 46, 045004 (2025). PR Blancoによる論文。平面軌道フィッティングを簡素化し、直進順行軌道遷移におけるランバート問題を解くために、半緯度直腸上の数値探索を提案している。MS Excelの2D軌道ソルバー／プロッターなどの補足資料付き。doi : 10.1088/1361-6404/ade37d

• ランバート問題の再考。ダリオ・イッツォによる論文。グッディングの手順と同等の精度を持ちながら、計算効率もより優れた、世帯主反復法の正確な推定値を提供するアルゴリズムが紹介されている。doi :10.1007/s10569-014-9587-y
• ランバートの定理 - 完全な級数解。ランバート問題のすべての双曲型および楕円型の場合の超幾何級数反転に基づく直接的な代数解を含む、ジェームズ・D・ソーンによる論文。^[1]

1. THORNE, JAMES (1990-08-17). 「ランバートの時間関数の級数逆変換／逆変換」 .天体力学会議. バージニア州レストン：アメリカ航空宇宙学会. doi :10.2514/6.1990-2886.