ランダウ関数

数学において、エドモンド・ランダウにちなんで名付けられたランダウ関数 g ( n ) は、任意の自然数nに対して、対称群S _nの元の最大位数として定義されます。同様に、g ( n ) はnの任意の分割における最大最小公倍数(lcm) 、つまりn個の要素の順列を、元の順序に戻る前に自身に再帰的に適用できる 最大回数です。

例えば、5 = 2 + 3 であり、lcm(2,3) = 6 である。5 を分割してもこれより大きな lcm は得られないため、g (5) = 6 となる。群S ₅における位数 6 の元は、巡回記法で (1 2) (3 4 5) と表記できる。同じ議論が数 6 にも適用され、g (6) = 6 となることに注意されたい。関数gが定数となる、任意の長さの連続数列n , n  + 1, ..., n  +  mが存在する。^[1]

整数列 g (0) = 1, g (1) = 1, g (2) = 2, g (3) = 3, g (4) = 4, g (5) = 6, g (6) = 6 , g (7) = 12, g (8) = 15, ... ( OEISの列A000793 )は、1902年に^[2]次の式 を証明したエドマンド・ランダウにちなんで名付けられました。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1}$

（ここでlnは自然対数を表す）。同様に（小文字のo表記を使用）、。 ${\displaystyle g(n)=e^{(1+o(1)){\sqrt {n\ln n}}}}$

より正確には、^[3]

${\displaystyle \ln g(n)={\sqrt {n\ln n}}\left(1+{\frac {\ln \ln n-1}{2\ln n}}-{\frac {(\ln \ln n)^{2}-6\ln \ln n+9}{8(\ln n)^{2}}}+O\left(\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{3}\right)\right).}$

（ここで は素数関数、逆関数を持つ対数積分関数を表し、フォード^[4]によって定数c > 0に対して をとることができる場合、 ^[3]${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {Li} (x)=O(R(x))}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {リー} }$ ${\displaystyle \operatorname {Li} ^{-1}}$ ${\displaystyle R(x)=x\exp {\bigl (}-c(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5}{\bigr )}}$

${\displaystyle \ln g(n)={\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}+O{\bigl (}R({\sqrt {n\ln n}})\ln n{\bigr )}.}$

という声明

${\displaystyle \lng(n)<{\sqrt {\mathrm {Li} ^{-1}(n)}}}$

十分に大きいnに対しては、リーマン予想と同等である。

次のようなことが証明できる。

${\displaystyle g(n)\leq e^{n/e}}$

n = 0における関数間の唯一の等式は、

${\displaystyle g(n)\leq \exp \left(1.05314{\sqrt {n\ln n}}\right).}$ ^[5]

注記

1. Nicolas, Jean-Louis ( 1968)、「Sur l'ordre minimum d'un élément dans le groupe S _n des permutations」、Acta Arithmetica (フランス語)、14 : 315–332
2. ランダウ、92～103ページ
3. マシアス、JP;ニコラス、JL; Robin, G. ( 1988)、「対称性グループの最大漸近性評価」、Acta Arithmetica (フランス語)、50 : 221–242
4. Kevin Ford (2002年11月). 「Vinogradovの積分とリーマンゼータ関数の境界値」(PDF) . Proc. London Math. Soc . 85 (3): 565– 633. arXiv : 1910.08209 . doi :10.1112/S0024611502013655. S2CID 121144007. 2022年2月1日時点の オリジナル( PDF)からのアーカイブ。 2023年12月20日閲覧。
5. Jean-Pierre Massias、Majoration Explicite de l'ordre Maximum d'un élément du groupe symétrique、Ann.ファック。科学。トゥールーズの数学。 (5) 6 (1984)、no. 3-4、269-281 ページ (1985 年)。

参考文献

• E. Landau、「Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [与えられた次数の順列の最大順序について]」、Arch.数学。物理学。サー。 3、vol. 1903 年 5 月
• W.ミラー、「有限対称群の元の最大位数」、アメリカ数学月刊誌、第94巻、1987年、497-506頁。
• J.-L. Nicolas、「ランダウの関数g ( n ) について」、『The Mathematics of Paul Erdős』、第 1 巻。 1、Springer-Verlag、1997 年、228 ～ 240 ページ。

外部リンク

• OEISシーケンスA000793（自然数上のランダウ関数）